Calcule o produto vetorial dos vetores a=(2,3,1) e b=(4,0,3), e verifique se o resultado é ortogonal a ambos os vetores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o produto vetorial dos vetores a = (2, 3, 1) e b = (4, 0, 3). Além disso, precisamos verificar se o resultado desse produto é ortogonal (ou seja, perpendicular) a ambos os vetores a e b. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre produto vetorial e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial de a e b. O produto vetorial de dois vetores em três dimensões gera um novo vetor que é perpendicular a ambos os vetores iniciais. A fórmula para o produto vetorial é:
a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Aplicando os valores dos vetores a = (2, 3, 1) e b = (4, 0, 3):
a times b = i & j & k 2 & 3 & 1 4 & 0 & 3
Calculando o determinante:
a times b = i(3 cdot 3 - 1 cdot 0) - j(2 cdot 3 - 1 cdot 4) + k(2 cdot 0 - 3 cdot 4)
a times b = i(9 - 0) - j(6 - 4) + k(0 - 12)
a times b = 9i - 2j - 12k
Portanto, o produto vetorial é c = (9, -2, -12).

Passo 3

Agora, vamos verificar se o vetor resultante c é ortogonal a ambos os vetores a e b. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
O produto escalar entre dois vetores u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Primeiro, vamos calcular c · a:
c cdot a = 9 cdot 2 + (-2) cdot 3 + (-12) cdot 1 = 18 - 6 - 12 = 0
Agora, c · b:
c cdot b = 9 cdot 4 + (-2) cdot 0 + (-12) cdot 3 = 36 + 0 - 36 = 0
Como ambos os produtos escalares são iguais a zero, isso confirma que o vetor c é ortogonal a ambos os vetores a e b.

Resposta

O produto vetorial de a e b é c = (9, -2, -12), e esse vetor é de fato ortogonal a ambos os vetores a e b.

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