Calcule o produto vetorial dos vetores
e
, e verifique se o resultado é ortogonal a ambos os vetores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o produto vetorial dos vetores a = (2, 3, 1) e b = (4, 0, 3). Além disso, precisamos verificar se o resultado desse produto é ortogonal (ou seja, perpendicular) a ambos os vetores a e b. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre produto vetorial e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial de a e b. O produto vetorial de dois vetores em três dimensões gera um novo vetor que é perpendicular a ambos os vetores iniciais. A fórmula para o produto vetorial é:
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Aplicando os valores dos vetores a = (2, 3, 1) e b = (4, 0, 3):
Calculando o determinante:
Portanto, o produto vetorial é c = (9, -2, -12).
Passo 3
Agora, vamos verificar se o vetor resultante c é ortogonal a ambos os vetores a e b. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
O produto escalar entre dois vetores u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é dado por:
Primeiro, vamos calcular c · a:
Agora, c · b:
Como ambos os produtos escalares são iguais a zero, isso confirma que o vetor c é ortogonal a ambos os vetores a e b.
Resposta
O produto vetorial de a e b é c = (9, -2, -12), e esse vetor é de fato ortogonal a ambos os vetores a e b.