Dado u=(1,1,1) e v=(2,3,4), calcule a projeção de v sobre u.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem dois vetores aqui, u = (1, 1, 1) e v = (2, 3, 4), e a missão é calcular a projeção de v sobre u. Isso tudo faz parte da matéria de vetores, mais especificamente sobre projeções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre produto escalar e norma de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a projeção de um vetor sobre outro. Basicamente, projetar v sobre u significa encontrar um vetor que está na direção de u e que melhor “sombra” v nessa direção. A fórmula para isso é:
proju v = ( u cdot v|u|^2 ) u
Onde u cdot v é o produto escalar e |u| é a norma (ou comprimento) de u.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. O produto escalar de dois vetores (a, b, c) e (d, e, f) é dado por:
u cdot v = a times d + b times e + c times f
Aplicando isso aos nossos vetores:
u cdot v = 1 times 2 + 1 times 3 + 1 times 4 = 2 + 3 + 4 = 9

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de u, que é o comprimento do vetor. A fórmula para a norma de u = (a, b, c) é:
|u| = raiza^2 + b^2 + c^2
Então, para u = (1, 1, 1):
|u| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
Mas na fórmula da projeção, usamos |u|^2, que é simplesmente:
|u|^2 = 3

Passo 5

Agora que temos u cdot v = 9 e |u|^2 = 3, vamos substituir na fórmula da projeção:
proju v = ( 93 ) u = 3 u

Passo 6

Por fim, multiplicamos o escalar 3 pelo vetor u = (1, 1, 1):
proju v = 3 times (1, 1, 1) = (3, 3, 3)

Resposta

A projeção de v sobre u é (3, 3, 3).

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