Dado
e
, calcule a projeção de
sobre
.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem dois vetores aqui,
e
, e a missão é calcular a projeção de
sobre
. Isso tudo faz parte da matéria de vetores, mais especificamente sobre projeções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre produto escalar e norma de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a projeção de um vetor sobre outro. Basicamente, projetar
sobre
significa encontrar um vetor que está na direção de
e que melhor “sombra”
nessa direção. A fórmula para isso é:
Onde
é o produto escalar e
é a norma (ou comprimento) de
.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de
, que é o comprimento do vetor. A fórmula para a norma de
é:
Então, para
:
Mas na fórmula da projeção, usamos
, que é simplesmente:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos substituir na fórmula da projeção:
Passo 6
Por fim, multiplicamos o escalar 3 pelo vetor
:
Resposta
A projeção de
sobre
é
.