Calcule os produtos abaixo se fizer sentido.
(a) u cdot s, com u=(-2,3) e s=(0,7);
(b) a cdot b, com a=2 i+3 j-2 k e b=i-2 j+k;
(c) w cdot s, com w=(1,2,-1) e s=(0,6);
(d) u cdot v, com |u|=6,|v|=2 e ângulo entre u e v é 2 pi / 3.
(e) i cdot i, i cdot k, j cdot k, j cdot j, onde i, j e k são os vetores canônicos do espaço.
(f) u cdot u, onde |u|=2;
(g) u cdot 0;
(h) (u cdot v) times w, onde u=(1,1,1), v=(1,2,3) e w=(0,-1,2).
(i) u times v e v times 2 u, onde u=(2,-, 3) e v=(4,2,1).
(j) |u times v|, quando |u|=2,|v|=3 e o ângulo entre u e v é 30 graus.
(k) u times v, quando u=2 v.

Passo 1

O enunciado pede cálculos de produtos escalares ( ucdotv) e vetoriais ( utimesv). Vamos usar as definições:
ucdotv=sumi=1^n ui vi, |utimesv|=|u||v|sintheta,
além da regra da mão direita para a direção de utimesv. Produto escalar só faz sentido para vetores no mesmo R^n; produto vetorial só em R^3. Também usaremos propriedades como ortonormalidade e o fato de que o vetor nulo anula o escalar.

Passo 2

Vamos calcular ucdots quando faz sentido, ou indicar inválido:
No item (a) temos u=(-2,3)inR^2 e s=(0,7)inR^2, logo
ucdots = (-2)cdot 0 + 3cdot 7 = 21
No item (b) temos a=(2,3,-2) e b=(1,-2,1) em R^3, então
acdotb = 2cdot 1 + 3cdot(-2) + (-2)cdot 1 = 2 - 6 - 2 = -6
No item (c) w=(1,2,-1)inR^3 e s=(0,6)inR^2 têm dimensões diferentes, então wcdots não faz sentido.

Passo 3

No item (d) usamos a fórmula
ucdotv = |u||v|costheta
Com |u|=6, |v|=2 e theta=2pi/3, fica
ucdotv = 6cdot 2cdot cos!l(tfrac2pi3r) =12cdotl(-tfrac12r)=-6

Passo 4

No item (e) usamos a ortonormalidade de i,j,k em R^3:
icdoti=1, icdotk=0, jcdotk=0, jcdotj=1
No item (f) vale
ucdotu=|u|^2=2^2=4
No item (g)
ucdot0=0
por propriedade do produto escalar com o vetor nulo.

Passo 5

No item (h) aparece (ucdotv)timesw. Como ucdotv é escalar, não faz sentido aplicar produto vetorial entre escalar e vetor.

Passo 6

No item (i) o vetor u=(2,-,3) está mal definido pois falta o segundo componente, portanto não há como calcular utimesv nem vtimes2u.

Passo 7

No item (j) usamos
|utimesv| = |u||v|sintheta
Com |u|=2, |v|=3 e theta=30^circ, obtemos
|utimesv| = 2cdot 3cdot sin(30^circ) =6cdottfrac12=3

Passo 8

No item (k) como u=2v, os vetores são paralelos e
utimesv = 0

Resposta

(a) ucdots=21
(b) acdotb=-6
(c) wcdots não faz sentido
(d) ucdotv=-6
(e) icdoti=1, icdotk=0, jcdotk=0, jcdotj=1
(f) ucdotu=4
(g) ucdot0=0
(h) não faz sentido
(i) não é possível calcular (vetor u mal definido)
(j) |utimesv|=3
(k) utimesv=0

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