Encontre um vetor ortogonal a a e b, sendo :
(a) a=(-2,-5,3) e b=(3,2,2)
(b) a=(-1,1,2) e b=(1,-1,4)

Passo 1

O enunciado pede um vetor ortogonal a dois vetores em R^3. Esse é um problema clássico de produto vetorial (cross-product), que nos dá, a partir de
vec a=(a1,a2,a3) e vec b=(b1,b2,b3),
um vetor vec atimesvec b que satisfaz (vec atimesvec b)cdotvec a=0 e (vec atimesvec b)cdotvec b=0.

Passo 2

Relembrando a definição do produto vetorial:
vec a times vec b = vec i & vec j & vec k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
que expande para
vec a times vec b = l(a2 b3 - a3 b2,; a3 b1 - a1 b3,; a1 b2 - a2 b1r)
Essa fórmula entrega diretamente um vetor perpendicular a vec a e vec b.

Passo 3

Item (a):
vec a=(-2,-5,3), vec b=(3,2,2).
Usando
a2b3 - a3b2 = (-5)cdot2 - 3cdot2 = -10 -6 = -16, a3b1 - a1b3 = 3cdot3 -(-2)cdot2 = 9 +4 =13, a1b2 - a2b1 = (-2)cdot2 -(-5)cdot3 = -4 +15 =11,
obtém-se
vec atimesvec b = (-16,,13,,11)
Para checar:
(-16,13,11)cdot(-2,-5,3)=32-65+33=0
e
(-16,13,11)cdot(3,2,2)=-48+26+22=0,
confirmando ortogonalidade.

Passo 4

Item (b):
vec a=(-1,1,2), vec b=(1,-1,4).
Calculando
a2b3 - a3b2 = 1cdot4 - 2cdot(-1) =4 +2 =6, a3b1 - a1b3 = 2cdot1 -(-1)cdot4 =2 +4 =6, a1b2 - a2b1 = (-1)cdot(-1) - 1cdot1 =1 -1 =0,
resulta
vec atimesvec b = (6,,6,,0)
Verificando:
(6,6,0)cdot(-1,1,2)=-6+6+0=0
e
(6,6,0)cdot(1,-1,4)=6-6+0=0

Resposta

(a) Um vetor ortogonal é (-16,,13,,11).
(b) Um vetor ortogonal é (6,,6,,0).

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