Considere um cubo gerado pelos vetores i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1).
(a) Determine o ângulo theta formado pela aresta i e a diagonal d=(1,0,1). Os vetores i e d são ortogonais? Justifique a sua resposta.
(b) Determine o ângulo theta1 formado pela aresta j e a aresta k. Os vetores j e k são ortogonais? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular ângulos entre vetores em R^3 e verificar ortogonalidade. Vamos usar o produto escalar e a norma de vetores, pois o ângulo theta entre vec u e vec v satisfaz
costheta = vec ucdot vec v|vec u|;|vec v|,
e vetores são ortogonais se, e somente se, vec ucdot vec v=0.

Passo 2

Para (a), considere vec i=(1,0,0) e vec d=(1,0,1). Primeiro o produto escalar:
vec icdot vec d = 1cdot1 + 0cdot0 + 0cdot1 = 1
Em seguida, as normas:
|vec i| = raiz1^2+0^2+0^2 = 1, |vec d| = raiz1^2+0^2+1^2 = raiz2
Logo,
costheta = 11cdotraiz2 = 1raiz2,
portanto
theta = arccos!l(tfrac1raiz2r) = 45^circ
Para verificar ortogonalidade de vec i e vec d, basta checar se vec icdot vec d=0. Como encontramos vec icdot vec d=1neq0, concluímos que eles não são ortogonais.

Passo 3

Para (b), tome vec j=(0,1,0) e vec k=(0,0,1). O produto escalar é
vec jcdot vec k = 0cdot0 + 1cdot0 + 0cdot1 = 0,
e como |vec j|=|vec k|=1, temos
costheta1 = 01cdot1 = 0,
logo
theta1 = arccos(0) = 90^circ
Como vec jcdot vec k=0, concluímos que vec j e vec k são ortogonais.

Resposta

(a) theta = 45^circ. Não são ortogonais, pois vec icdot vec d=1neq0.
(b) theta1 = 90^circ. São ortogonais, pois vec jcdot vec k=0.

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