Calcule os produtos notáveis a seguir:
\left(3-\frac{5}{x}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (expandir) a expressão \left(3-\dfrac{5}{x}\right)^{2}.
Informações dadas:
  • A expressão é um quadrado de um binómio: \left(3-\dfrac{5}{x}\right)^{2}.
  • Deve-se obter a forma expandida em termos de x.
  • É necessário observar que x não pode ser zero (porque há divisão por x).

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar (a identidade do quadrado da diferença). Para quaisquer números ou expressões a e b vale:
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Explicação dessa fórmula (pequena demonstração): ao multiplicar (a-b)(a-b) por distribuição temos
(a-b)(a-b)=a\cdot a - a\cdot b - b\cdot a + b\cdot b = a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Aqui a^{2} significa a vezes a; ab significa a vezes b; e b^{2} significa b vezes b.

Passo 3

Identificar a e b no nosso binómio. Na expressão \left(3-\dfrac{5}{x}\right)^{2} temos:
a=3,\qquad b=\dfrac{5}{x}.

Passo 4

Calcular a^{2}. Substituindo a=3:
a^{2}=3^{2}= \; \boxed{\;9\;}.

Passo 5

Calcular -2ab. Substituindo a=3 e b=\dfrac{5}{x}:
-2ab = -2\cdot 3\cdot \dfrac{5}{x} = -\dfrac{30}{x}.

Passo 6

Calcular b^{2}. Substituindo b=\dfrac{5}{x}:
b^{2}=\left(\dfrac{5}{x}\right)^{2}=\dfrac{25}{x^{2}}.

Passo 7

Agora, somando os três termos que aparecem na identidade (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} (os valores calculados nos passos anteriores) obtém-se a expansão completa do quadrado do binómio. Lembrar que existe a restrição de domínio x\neq 0.

Resposta

9-\dfrac{30}{x}+\dfrac{25}{x^{2}}

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