Calcule os produtos notáveis a seguir:
\left(x^{2}-\sqrt{5}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (expandir) o produto notável
\left(x^{2}-\sqrt{5}\right)^{2}.
Informações dadas:
  • A expressão é um quadrado de binômio.
  • Os termos do binômio são x^{2} e \sqrt{5}.
    O objetivo é obter a forma expandida (um polinômio) equivalente a essa expressão.

Passo 2

Lembrete da fórmula que vamos usar (produto notável): para quaisquer a e b vale
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Explicando: (a-b)^{2} significa multiplicar a-b por ele mesmo; a fórmula dá diretamente os três termos resultantes — o quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto dos dois, mais o quadrado do segundo.

Passo 3

Identificar a e b no nosso caso:
a = x^{2},\qquad b = \sqrt{5}.
Então vamos aplicar a fórmula com esses valores.

Passo 4

Calcular a^{2}:
a^{2}=(x^{2})^{2}=x^{2\cdot 2}=x^{4}.
Explicação: quando se eleva uma potência a outra, multiplicam-se os expoentes.

Passo 5

Calcular o termo -2ab:
-2ab=-2\cdot x^{2}\cdot \sqrt{5}=-2\sqrt{5}\,x^{2}.
Explicação: a multiplicação é comutativa, então podemos escrever o coeficiente -2, a raiz \sqrt{5} e x^{2} juntos.

Passo 6

Calcular b^{2}:
b^{2}=(\sqrt{5})^{2}=5.
Explicação: a raiz quadrada ao quadrado desfaz a raiz, ficando o número dentro da raiz.

Passo 7

Juntando os três termos segundo a fórmula, obtemos a expansão:
\left(x^{2}-\sqrt{5}\right)^{2}=x^{4}-2\sqrt{5}\,x^{2}+5.
Pequena verificação numérica para conferir a forma: se x=1, a expressão original é (1-\sqrt{5})^{2} e a expandida é 1-2\sqrt{5}+5; ambas são equivalentes (podem ser simplificadas numericamen te para conferir).

Resposta

x^{4}-2\sqrt{5}\,x^{2}+5

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