Calcule os produtos notáveis a seguir:
(4-y)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (expandir) a expressão (4 - y)^{2}.
Informações dadas: a expressão é o quadrado de um binómio com termos 4 e y. O objetivo é obter um polinômio equivalente, escrito de forma simplificada.

Passo 2

Vou lembrar (e demonstrar) a regra para o quadrado de um binómio. Considere dois símbolos genéricos a e b. O quadrado do binómio (a-b) é o produto (a-b)(a-b). Usando a propriedade distributiva (ou método FOIL: First, Outer, Inner, Last) temos:
(a-b)(a-b)=a\cdot a + a\cdot(-b) + (-b)\cdot a + (-b)\cdot(-b).
Explicando a propriedade distributiva: multiplicar uma soma (ou diferença) por outro fator significa multiplicar cada termo desse parênteses pelo fator exterior e somar os resultados.

Passo 3

Continuando a derivação geral, simplificando os sinais e somando termos iguais:
a\cdot a = a^{2}, \qquad a\cdot(-b) = -ab, \qquad (-b)\cdot a = -ab, \qquad (-b)\cdot(-b)=b^{2}.
Somando:
(a-b)^{2}=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Essa é a fórmula padrão: (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}. Aqui a^{2} é o quadrado do primeiro termo, -2ab é duas vezes o produto dos termos com sinal negativo, e b^{2} é o quadrado do segundo termo.

Passo 4

Agora aplico a fórmula ao caso concreto. Identifico a=4 e b=y. Substituindo em (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} obtenho:
(4-y)^{2}=4^{2}-2\cdot 4\cdot y + y^{2}.

Passo 5

Calculo cada termo numérico passo a passo:
4^{2}=16, \qquad -2\cdot 4\cdot y = -8y, \qquad y^{2}=y^{2}.
Somando os termos (e reunindo termos semelhantes) resulta:
(4-y)^{2}=16 - 8y + y^{2}.

Passo 6

Organizo o polinômio em ordem decrescente do grau (termo y^{2} primeiro), que é a forma usual de apresentar o resultado:
(4-y)^{2}=y^{2}-8y+16.
Dica rápida para a prova: memorizando a fórmula (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ganha-se tempo; se esquecer, faça a multiplicação (4-y)(4-y) por distributiva — o processo é curto.

Resposta

y^{2}-8y+16

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