Calcule a projeção do vetor \vec{u}=(0,1,2) na direção do vetor \vec{v}= ((1,2,1).

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede a projeção de um sobre o outro. Dados fornecidos:
  • \vec{u}=(0,1,2).
  • \vec{v}=(1,2,1).
O que é pedido:
  • Calcular a projeção de \vec{u} na direção de \vec{v}, ou seja \operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula que usa produto escalar (dot product). A projeção vetorial de \vec{u} sobre \vec{v} é dada por
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\,\vec{v}.
Explicando cada símbolo:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar entre \vec{u} e \vec{v}.
  • \vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{v}\|^{2} é o quadrado da norma de \vec{v}.
  • O quociente \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}} é um número escalar que escala o vetor \vec{v} para obter a projeção.
Lembrete do produto escalar em \mathbb{R}^{3}: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}. Usando a definição,
\vec{u}\cdot\vec{v}=0\cdot1 + 1\cdot2 + 2\cdot1 = 0 + 2 + 2 = 4.

Passo 4

Calcular \vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{v}\|^{2}:
\vec{v}\cdot\vec{v}=1^{2}+2^{2}+1^{2}=1+4+1=6.

Passo 5

Calcular o escalar que multiplica \vec{v}:
\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.

Passo 6

Multiplicar esse escalar por \vec{v} para obter a projeção:
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{2}{3}\,(1,2,1)=\left(\frac{2}{3},\frac{4}{3},\frac{2}{3}\right).

Passo 7

Checagem rápida (opcional e útil na prova): a diferença \vec{u}-\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} deve ser ortogonal a \vec{v}. Calcular a diferença:
\vec{u}-\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=(0,1,2)-\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3},\tfrac{2}{3}\right)=\left(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3},\tfrac{4}{3}\right).
Produto escalar com \vec{v}:
\left(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3},\tfrac{4}{3}\right)\cdot(1,2,1)=-\tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{3}+\tfrac{4}{3}=0,
o que confirma que a componente restante é ortogonal a \vec{v}, então a projeção está correta. Força aí — já era!

Resposta

\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3},\dfrac{2}{3}\right)

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