Dados os pontos A=(1,2) e B=(3,4).
(a) Escreva e esboce o vetor \overrightarrow{A B}.
(b) Escreva o vetor \overrightarrow{A B} como combinação linear dos vetores \vec{i} e \vec{j}.
(c) Normalize o vetor \overrightarrow{A B}.

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos A=(1,2) e B=(3,4) e pede três coisas:
(a) escrever e esboçar o vetor \overrightarrow{AB};
(b) escrever \overrightarrow{AB} como combinação linear dos vetores \vec{i} e \vec{j};
(c) normalizar o vetor \overrightarrow{AB} (ou seja, encontrar o vetor unitário com a mesma direção).
Informações relevantes dadas:
  • Coordenadas do ponto A: A=(1,2).
  • Coordenadas do ponto B: B=(3,4).

Passo 2

O vetor que vai de A para B é obtido subtraindo componente a componente as coordenadas de A das de B. Em notação vetorial isso é:
\overrightarrow{AB} = B - A.
Explicando isso de forma bem simples: para ir de A a B calcula-se quanto se desloca em x e quanto se desloca em y.

Passo 3

Calculemos as diferenças nas coordenadas:
\text{diferença em }x = 3-1 = 2, \qquad \text{diferença em }y = 4-2 = 2.çç
Portanto, em forma de par ordenado:
\overrightarrow{AB} = (2,2).

Passo 4

Sobre o esboço (como desenhar): desenhe um plano cartesiano, marque o ponto A=(1,2) e o ponto B=(3,4). Trace uma seta que parte de A e aponta para B. Essa seta representa \overrightarrow{AB}; ela tem direção na diagonal que sobe para a direita e comprimento correspondente à magnitude que vamos calcular em seguida.

Passo 5

Agora vamos escrever \overrightarrow{AB} como combinação linear dos vetores unitários da base canônica \vec{i} e \vec{j}.
Lembrando que por definição
\vec{i} = (1,0),\qquad \vec{j}=(0,1).
Como \overrightarrow{AB}=(2,2), a combinação é simplesmente:
\overrightarrow{AB} = 2\vec{i} + 2\vec{j}.
Interpretação: mover 2 unidades na direção x ( 2\vec{i}) e 2 unidades na direção y ( 2\vec{j}).

Passo 6

Para normalizar precisamos do comprimento (norma) de \overrightarrow{AB}. A fórmula da norma de um vetor em \mathbb{R}^2 é, pela regra de Pitágoras,
\|\,(x,y)\,\| = \sqrt{x^2+y^2},
onde x e y são as componentes do vetor.
Aplicando ao nosso caso (x,y)=(2,2):
\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.

Passo 7

O vetor unitário na direção de \overrightarrow{AB} (vetor normalizado) é obtido dividindo-se o vetor pela sua norma:
\hat{u} = \frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|}.
Substituindo os valores:
\hat{u} = \frac{(2,2)}{2\sqrt{2}} = \left(\frac{2}{2\sqrt{2}},\frac{2}{2\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Uma forma equivalente e frequentemente usada é
\hat{u} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): calcule a norma de \hat{u} para checar que vale 1:
\|\hat{u}\| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1.
Tudo correto. Dica final: na prova, siga estes passos rápidos e diretos — diferença das coordenadas, escrever em \vec{i},\vec{j}, calcular norma com Pitágoras e dividir — e você resolve a questão sem dor de cabeça. Vai dar certo!

Resposta

(a) \overrightarrow{AB}=(2,2). Esboço: seta do ponto A=(1,2) para o ponto B=(3,4).\n
(b) \overrightarrow{AB}=2\vec{i}+2\vec{j}.\n
(c) vetor normalizado: \dfrac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).

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