lang<= p(t), q(t)rang<==p(-1) q(-1)+p(0) q(0)+p(1) q(1)
a) Calcule |p(t)| para um qualquer polinómio p(t) in P2;

Passo 1

O enunciado define em P2 (polinômios de grau <=2) o produto interno
lang<= p,qrang<= = p(-1),q(-1) + p(0),q(0) + p(1),q(1)
Pede-se a norma de um polinômio genérico p(t). Lembrando que a norma induzida por um produto interno é
|p| = raizlang<= p,prang<=

Passo 2

Vamos então escrever
|p| = raizp(-1)^2 + p(0)^2 + p(1)^2
Para obter uma forma explícita, seja
p(t) = a,t^2 + b,t + c,
com a,b,cinR. Precisamos calcular p(-1), p(0) e p(1).

Passo 3

Substituindo:
p(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c,
p(0) = acdot 0^2 + bcdot 0 + c = c,
p(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c

Passo 4

Agora somamos os quadrados:
p(-1)^2 + p(0)^2 + p(1)^2 = (a - b + c)^2 + c^2 + (a + b + c)^2
Expandindo e somando, obtém-se
(a - b + c)^2 + (a + b + c)^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 4ac,
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p(-1)^2 + p(0)^2 + p(1)^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 4ac + c^2 = 2a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 4ac

Passo 5

Portanto a norma de p fica
|p| = raiz2a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 4ac

Resposta

boxed|p| = raizp(-1)^2 + p(0)^2 + p(1)^2 ou, se p(t)=a t^2 + b t + c,; |p| = raiz2a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 4ac

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