(a) Calcule e / m para um próton e determine sua aceleração em um campo elétrico uniforme com intensidade de 100 N/C. (b) Determine o tempo necessário para um próton, inicialmente em repouso nesse campo, atingir a velocidade de 0,01 c (onde c é a velocidade da luz \approx 3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} )
Resposta:
(a) a=1.76 \times 10^{13} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
(b) \Delta T=0.2 \mu \mathrm{~s}

Passo 1

O que o enunciado pede (resumido em perguntas claras):
  • (a) Calcular \dfrac{e}{m} para um próton e, usando isso, determinar a aceleração do próton num campo elétrico uniforme de intensidade 100\\ \mathrm{N/C}.
  • (b) Determinar o tempo necessário para que o próton, inicialmente em repouso nesse campo, atinja a velocidade 0{,}01\,c, onde c\approx 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Informações e dados que temos (valores que vou usar; peguei-os da física básica):
  • Intensidade do campo elétrico: E = 100\\ \mathrm{N/C}.
  • Velocidade alvo: v = 0{,}01\,c = 0{,}01\times 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} = 3\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
  • Carga elementar (magnitude): e = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Massa do próton: m_{p} = 1{,}67262192369\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • O próton tem carga positiva +e (uso a magnitude e na fórmula do módulo da aceleração).
  • Condição inicial: velocidade inicial v_{0}=0.

Passo 2

Relembrando as fórmulas físicas e o que cada símbolo significa (aula rápida e prática):
  • Força elétrica sobre uma partícula de carga q num campo elétrico uniforme E: \mathbf{F} = q\,\mathbf{E}.
Aqui \mathbf{F} é a força (newton, \mathrm{N}), q é a carga (coulomb, \mathrm{C}) e \mathbf{E} é o campo elétrico ( \mathrm{N/C} ou \mathrm{V/m}).
  • Segunda lei de Newton (relação entre força e aceleração): \mathbf{F} = m\,\mathbf{a},
onde m é a massa (kg) e \mathbf{a} é a aceleração ( \mathrm{m/s^{2}}).
  • Combinando as duas: m\,\mathbf{a} = q\,\mathbf{E}, então para o módulo da aceleração: a = \frac{q\,E}{m}.
  • A razão carga/masa que o enunciado pede é \dfrac{e}{m} (unidade \mathrm{C/kg}). Note que a aceleração é simplesmente \dfrac{e}{m}\,E quando q=e.
  • Para o tempo necessário com aceleração constante (Movimento retilíneo uniformemente acelerado, MRUA) e v_{0}=0: v = a\,t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{v}{a}.
Explicitação de unidades rápidas: \dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}}\times \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}} = \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}} = \dfrac{\mathrm{kg\cdot m/s^{2}}}{\mathrm{kg}}=\mathrm{m/s^{2}}, então as contas fecham em aceleração.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{e}{m} para o próton (passo a passo em notação científica):
\frac{e}{m_{p}}=\frac{1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}}{1{,}67262192369\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}}.
Faço a divisão separando a mantissa e a potência de 10:
\frac{e}{m_{p}}=\left(\frac{1{,}602176634}{1{,}67262192369}\right)\times10^{8}.
Calculando a razão das mantissas (aproximação numérica com precisão suficiente para a prova):
\frac{1{,}602176634}{1{,}67262192369}\approx 0{,}958,
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\frac{e}{m_{p}}\approx 0{,}958\times10^{8}=9{,}58\times10^{7}\\ \mathrm{C/kg}.
(Em mais casas significativas: \dfrac{e}{m_{p}}\approx 9{,}5788\times10^{7}\\ \mathrm{C/kg}.)

Passo 4

Cálculo da aceleração do próton no campo E=100\\ \mathrm{N/C}:
Usando a=\dfrac{e}{m_{p}}\,E,
a \approx 9{,}5788\times10^{7}\\ \mathrm{C/kg}\times 100\\ \mathrm{N/C}.
Multiplicando:
a \approx 9{,}5788\times10^{9}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando a três algarismos significativos para a prova:
a \approx 9{,}58\times10^{9}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Cálculo do tempo necessário para atingir v=0{,}01\,c partindo do repouso:
  • Velocidade desejada: v = 0{,}01\,c = 0{,}01\times 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}=3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
  • Com v = a\,t e a calculado no passo anterior, temos
t = \frac{v}{a} = \frac{3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}}{9{,}5788\times10^{9}\\ \mathrm{m/s^{2}}}.
Fazendo a divisão:
t \approx 3{,}13\times10^{-4}\\ \mathrm{s}.
Convertendo para microsegundos ( 1\\ \mu\mathrm{s}=10^{-6}\\ \mathrm{s}):
t \approx 3{,}13\times10^{-4}\\ \mathrm{s}=313\\ \mu\mathrm{s}.

Passo 6

Observações finais didáticas e checagem de consistência (útil para a prova):
  • A conta acima assume aceleração não-relativística constante; para v=0{,}01\,c a correção relativística é desprezível (a fator de Lorentz \gamma\approx 1+0{,}5(v/c)^{2} dá uma diferença ínfima), então o uso de v=at está justificado.
  • Nota importante: muitas fontes e exercícios pedem essa conta para o elétron em vez do próton. Para o elétron \dfrac{e}{m_{e}}\approx 1{,}7588\times10^{11}\\ \mathrm{C/kg}, o que levaria a a\approx 1{,}76\times10^{13}\\ \mathrm{m/s^{2}} e t\approx 0{,}17\\ \mu\mathrm{s}. Se estiver comparando respostas, verifique se o enunciado pediu próton ou elétron!

Resposta

(a) \dfrac{e}{m_{p}}\approx 9{,}58\times10^{7}\\ \mathrm{C/kg}, \;a\approx 9{,}58\times10^{9}\\ \mathrm{m/s^{2}}
(b) \Delta T\approx 3{,}13\times10^{-4}\\ \mathrm{s}=313\\ \mu\mathrm{s}

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