Uma esfera de 6 cm de raio tem uma densidade volumétrica de carga uniforme
. Determine o capo elétrico em
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
- Uma esfera de raio
. - Densidade volumétrica de carga uniforme
. - Queremos o campo elétrico no ponto a uma distância
do centro da esfera.
Observação importante: o ponto solicitado está dentro da esfera, pois.
Passo 2
Ideia física e escolha do método (por que usar Lei de Gauss):
- Como a distribuição de carga é uniforme e a esfera é simétrica, o campo elétrico em qualquer ponto a uma distância fixa
do centro deve ser radial e ter o mesmo módulo em todos os pontos dessa esfera imaginária de raio . Essa simetria torna a Lei de Gauss a ferramenta ideal. - A Lei de Gauss diz que a integral do fluxo elétrico pela superfície fechada é igual à carga interna dividida por
:
Aqui:
-
é o campo elétrico na superfície de integração, -
é o vetor área elementar, -
é a carga total contida dentro da superfície, -
é a permissividade do vácuo ( ). - Escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raio
centrada na esfera carregada. Nessa superfície é radial e tem módulo constante, então a integral simplifica bastante.
Passo 3
Calcular a carga contida dentro da esfera de raio
:
- A carga interna é densidade vezes volume do objeto contido:
- O volume de uma esfera de raio
é . Então
- Converter unidades para o SI antes de colocar números:
-
. -
.
-
Passo 4
Aplicar a Lei de Gauss e isolar
:
- O fluxo pela esfera gaussiana é
(módulo constante) vezes a área :
- Pela Lei de Gauss:
- Simplificando (corta
):
Explicação do resultado: para uma esfera com densidade uniforme, dentro dela o campo cresce linearmente com
porque a carga efetiva que contribui é a que está contida até esse raio
.
Passo 5
Substituir números e calcular numericamente, explicando as contas:
- Reescrevendo a fórmula com os valores em SI:
- Calcular o numerador:
- Calcular o denominador:
- Dividindo:
Passo 6
Interpretação do resultado e direção:
- O sinal: como a densidade
é positiva, o campo aponta radialmente para fora do centro. - Em unidades usuais, o campo no ponto a
é de aproximadamente dirigido radialmente para fora.