Uma esfera de 6 cm de raio tem uma densidade volumétrica de carga uniforme \rho=450 n C / m^{3}. Determine o capo elétrico em
r=2 \mathrm{~cm}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Uma esfera de raio R=6\\ \mathrm{cm}.
  • Densidade volumétrica de carga uniforme \rho=450\\ \mathrm{nC/m^{3}}.
  • Queremos o campo elétrico no ponto a uma distância r=2\\ \mathrm{cm} do centro da esfera.
    Observação importante: o ponto solicitado está dentro da esfera, pois r<R.

Passo 2

Ideia física e escolha do método (por que usar Lei de Gauss):
  • Como a distribuição de carga é uniforme e a esfera é simétrica, o campo elétrico em qualquer ponto a uma distância fixa r do centro deve ser radial e ter o mesmo módulo em todos os pontos dessa esfera imaginária de raio r. Essa simetria torna a Lei de Gauss a ferramenta ideal.
  • A Lei de Gauss diz que a integral do fluxo elétrico pela superfície fechada é igual à carga interna dividida por \varepsilon_0:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Aqui:
  • \vec{E} é o campo elétrico na superfície de integração,
  • d\vec{A} é o vetor área elementar,
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície,
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).
  • Escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raio r=2\\ \mathrm{cm} centrada na esfera carregada. Nessa superfície \vec{E} é radial e tem módulo constante, então a integral simplifica bastante.

Passo 3

Calcular a carga contida dentro da esfera de raio r:
  • A carga interna é densidade vezes volume do objeto contido:
Q_{\text{int}}=\rho \cdot V_{\text{esfera de raio } r}.
  • O volume de uma esfera de raio r é \dfrac{4}{3}\pi r^{3}. Então
Q_{\text{int}}=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Converter unidades para o SI antes de colocar números:
    • \rho=450\\ \mathrm{nC/m^{3}}=450\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{3}}=4{,}50\times10^{-7}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
    • r=2\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Aplicar a Lei de Gauss e isolar E:
  • O fluxo pela esfera gaussiana é E (módulo constante) vezes a área 4\pi r^{2}:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=E\cdot 4\pi r^{2}.
  • Pela Lei de Gauss:
E\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}=\frac{\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}}{\varepsilon_0}.
  • Simplificando (corta 4\pi r^{2}):
E=\frac{\rho\, r}{3\varepsilon_0}.
Explicação do resultado: para uma esfera com densidade uniforme, dentro dela o campo cresce linearmente com r porque a carga efetiva que contribui é a que está contida até esse raio r.

Passo 5

Substituir números e calcular numericamente, explicando as contas:
  • Reescrevendo a fórmula com os valores em SI:
E=\frac{(4{,}50\times10^{-7}\\ \mathrm{C/m^{3}})\cdot(0{,}02\\ \mathrm{m})}{3\cdot(8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m})}.
  • Calcular o numerador:
(4{,}50\times10^{-7})\cdot(0{,}02)=9{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
  • Calcular o denominador:
3\cdot 8{,}854\times10^{-12}=2{,}6562\times10^{-11}.
  • Dividindo:
E=\frac{9{,}0\times10^{-9}}{2{,}6562\times10^{-11}}\approx 3{,}39\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Interpretação do resultado e direção:
  • O sinal: como a densidade \rho é positiva, o campo aponta radialmente para fora do centro.
  • Em unidades usuais, o campo no ponto a r=2\\ \mathrm{cm} é de aproximadamente 3{,}39\times10^{2}\\ \mathrm{V/m} dirigido radialmente para fora.

Resposta

\vec{E}(r=2\\ \mathrm{cm})=3{,}39\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}\\ \hat{r}

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