Qual o fluxo através de um dos lados de um cubo que em uma carga puntiforme isolada de -3.0 \mu C colocada no seu centro?
Resposta:
(a) \phi_{E}=-5.65 \times 10^{4} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo elétrico através de um dos lados de um cubo que contém no seu centro uma carga puntiforme de -3{,}0\\ \mu\mathrm{C}. Informações dadas:
  • A carga localizada no centro do cubo é q = -3{,}0\\ \mu\mathrm{C}.
  • A pergunta é: qual é o fluxo elétrico através de um único lado (uma face) do cubo?

Passo 2

Definição física que precisamos: o fluxo elétrico através de uma superfície S é dado por
\Phi_{E}=\iint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico e d\mathbf{A} é o vetor área infinitesimal (magnitude igual à área infinitesimal e direção normal à superfície). Fluxo positivo significa linhas de campo saindo da superfície; fluxo negativo significa linhas entrando na superfície.

Passo 3

Lei de Gauss (forma integral) — fórmula que usamos para cargas encerradas por uma superfície fechada:
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície fechada e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Nesta expressão:
  • \varepsilon_{0} geralmente vale aproximadamente 8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})} (ou simplesmente \mathrm{F/m}),
  • o lado esquerdo é o fluxo total atravessando toda a superfície fechada.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: a carga q está dentro do cubo, então o fluxo total através das seis faces do cubo é
\Phi_{\text{total}}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}.
Porque a carga está exatamente no centro do cubo, por simetria o fluxo se distribui igualmente entre as seis faces. Portanto o fluxo através de uma face é
\Phi_{\text{face}}=\frac{\Phi_{\text{total}}}{6}=\frac{q}{6\varepsilon_{0}}.
Explicação da simetria (em palavras): estando a carga no centro, não há razão para que uma face receba mais linhas de campo do que outra; todas as seis faces são equivalentes.

Passo 5

Converter os dados para unidades SI:
q=-3{,}0\\ \mu\mathrm{C}=-3{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Usaremos \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}.

Passo 6

Calcular o fluxo total usando Gauss:
\Phi_{\text{total}}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}=\frac{-3{,}0\times10^{-6}}{8{,}854\times10^{-12}}.
Fazendo a divisão de potências de dez: dividir 10^{-6} por 10^{-12} 10^{6}. Assim
\Phi_{\text{total}}=\left(\frac{-3{,}0}{8{,}854}\right)\times10^{6}.
Calcule a fração numérica:
\frac{-3{,}0}{8{,}854}\approx -0{,}3388227,
portanto
\Phi_{\text{total}}\approx -0{,}3388227\times10^{6}=-3{,}388227\times10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

Passo 7

Agora dividimos por 6 para obter o fluxo por face:
\Phi_{\text{face}}=\frac{\Phi_{\text{total}}}{6}=\frac{-3{,}388227\times10^{5}}{6}\approx -5{,}647045\times10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
Arredondando com três algarismos significativos (coerente com q=-3{,}0\\ \mu\mathrm{C}):
\Phi_{\text{face}}\approx -5{,}65\times10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

Passo 8

Interpretação do sinal: o sinal negativo indica que o fluxo líquido através de cada face é dirigido para dentro do cubo (linhas de campo entram), compatível com uma carga negativa no centro.

Resposta

\phi_{E}=-5,65\times10^{4}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}

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