Uma esfera de 6 cm de raio tem uma densidade volumétrica de carga uniforme
. Determine o capo elétrico em
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Raio da esfera:
. - Densidade volumétrica de carga (uniforme):
. - Ponto onde pedir o campo:
.
O que foi pedido: determinar o campo elétrico no ponto situado a
do centro da esfera.
Passo 2
Primeiro passo prático: converter todas as grandezas para o SI (metros e coulombs):
- Converter o raio e a posição para metros:
- Converter a densidade de carga para coulomb por metro cúbico:
Observação útil: como
, o ponto está no interior da esfera uniformemente carregada.
Passo 3
Agora a ideia física e a ferramenta que vamos usar (aula rápida, sem enrolar):
- Para uma distribuição esfericamente simétrica e uniforme, o campo elétrico em um ponto a uma distância radial
do centro depende só de e aponta radialmente (para fora se , para dentro se ). Isso vem da simetria esférica: em uma superfície esférica centrada na carga o campo tem mesmo módulo em todo ponto e é perpendicular à superfície. - A lei de Gauss em forma integral é:
onde é a carga total contida dentro da superfície fechada escolhida e é a permissividade do vácuo ( ).
Para uma esfera gaussiana de raio
(menor que
), pelo raciocínio de simetria:
-
é constante sobre a superfície esférica e aponta radialmente, logo
Passo 4
Calcular
e isolar
:
- A carga dentro da esfera de raio
(como a densidade é uniforme) é - Substituindo na lei de Gauss:
- Simplificando
e obtemos a expressão conhecida para o campo dentro de uma esfera uniformemente carregada:
Aqui
é a densidade volumétrica de carga (em
),
é a distância ao centro (em
) e
é a constante do vácuo.
Passo 5
Substituir os valores numéricos com cuidado (cada passo aritmético explicadinho):
- Calcular o numerador
: - Calcular
: - Dividindo:
Arredondando com dois algarismos significativos relevantes para este problema:
Passo 6
Direção do campo: como a densidade
é positiva (
), as cargas são positivas e o campo elétrico aponta radialmente para fora do centro da esfera.
Dica de prova: memorize a forma interior
para esfera uniformemente carregada; ela é rápida de aplicar quando
. Para
usa-se
(como se toda carga estivesse concentrada no centro).