Uma esfera de 6 cm de raio tem uma densidade volumétrica de carga uniforme \rho=450 n C / m^{3}. Determine o capo elétrico em
r=5,9 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Raio da esfera: R=6\\ \mathrm{cm}.
  • Densidade volumétrica de carga (uniforme): \rho=450\\ \mathrm{nC/m^{3}}.
  • Ponto onde pedir o campo: r=5,9\\ \mathrm{cm}.
O que foi pedido: determinar o campo elétrico no ponto situado a r=5,9\\ \mathrm{cm} do centro da esfera.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter todas as grandezas para o SI (metros e coulombs):
  • Converter o raio e a posição para metros: R=6\\ \mathrm{cm}=0,06\\ \mathrm{m},\qquad r=5,9\\ \mathrm{cm}=0,059\\ \mathrm{m}.
  • Converter a densidade de carga para coulomb por metro cúbico: \rho=450\\ \mathrm{nC/m^{3}}=450\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{3}}=4,50\times10^{-7}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
Observação útil: como r=0,059\\ \mathrm{m}<R=0,06\\ \mathrm{m}, o ponto está no interior da esfera uniformemente carregada.

Passo 3

Agora a ideia física e a ferramenta que vamos usar (aula rápida, sem enrolar):
  • Para uma distribuição esfericamente simétrica e uniforme, o campo elétrico em um ponto a uma distância radial r do centro depende só de r e aponta radialmente (para fora se \rho>0, para dentro se \rho<0). Isso vem da simetria esférica: em uma superfície esférica centrada na carga o campo tem mesmo módulo em todo ponto e é perpendicular à superfície.
  • A lei de Gauss em forma integral é: \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada escolhida e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}=8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).
Para uma esfera gaussiana de raio r (menor que R), pelo raciocínio de simetria:
  • |\mathbf{E}| é constante sobre a superfície esférica e aponta radialmente, logo E\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.

Passo 4

Calcular Q_{\text{int}} e isolar E:
  • A carga dentro da esfera de raio r (como a densidade é uniforme) é Q_{\text{int}}=\rho\cdot \text{(volume da esfera de raio }r)=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Substituindo na lei de Gauss: E\cdot 4\pi r^{2}=\frac{\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}}{\varepsilon_{0}}.
  • Simplificando 4\pi e r^{2} obtemos a expressão conhecida para o campo dentro de uma esfera uniformemente carregada: E=\frac{\rho\, r}{3\varepsilon_{0}}.
Aqui \rho é a densidade volumétrica de carga (em \mathrm{C/m^{3}}), r é a distância ao centro (em \mathrm{m}) e \varepsilon_{0} é a constante do vácuo.

Passo 5

Substituir os valores numéricos com cuidado (cada passo aritmético explicadinho):
  • Calcular o numerador \rho\,r: \rho\,r=(4,50\times10^{-7})\times0,059=2,655\times10^{-8}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
  • Calcular 3\varepsilon_{0}: 3\varepsilon_{0}=3\times(8,854187817\times10^{-12})=2,656256345\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
  • Dividindo: E=\frac{2,655\times10^{-8}}{2,656256345\times10^{-11}}\\ \mathrm{V/m}\approx9,995\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}.
Arredondando com dois algarismos significativos relevantes para este problema:
E\approx1,00\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Direção do campo: como a densidade \rho é positiva ( \rho>0), as cargas são positivas e o campo elétrico aponta radialmente para fora do centro da esfera.
Dica de prova: memorize a forma interior E=\dfrac{\rho\, r}{3\varepsilon_{0}} para esfera uniformemente carregada; ela é rápida de aplicar quando r<R. Para r\ge R usa-se E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q_{\text{total}}}{r^{2}} (como se toda carga estivesse concentrada no centro).

Resposta

E(5,9\\ \mathrm{cm})\approx1,00\times10^{3}\\ \mathrm{V/m} (radialmente para fora)

Exercícios relacionados