Duas cargas puntiformes positivas
são posicionadas sobre o eixo
em
e
, conforme ocorreu no Problema anterior. Uma massa
com carga negativa
desliza sem atrito ao longo de um fio orientado na direção do eixo
, podendo girar em seu entorno. (a) Mostre que para pequenos deslocamentos próximos a
, a massa fica sob ação de uma força restauradora proporcional a
e, portanto, sujeita a um movimento harmônico simples. (b) Determine o período desse movimento.
Resposta:
(a)
(b)
Resposta:
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou escrever tudo claramente para não nos perdermos):
- Duas cargas puntiformes iguais, cada uma com carga
, estão fixas sobre o eixo nas posições e . - Uma massa
com carga de sinal oposto (vamos denotar a carga dessa massa por , isto é, mesma magnitude mas negativa) pode deslizar sem atrito ao longo de um fio colocado sobre o eixo . A massa pode ficar em no meio, ou deslocar-se para . - Pede-se:
(a) mostrar que para pequenos deslocamentostais que a força resultante sobre a massa é uma força restauradora proporcional a (ou seja, ), implicando Movimento Harmônico Simples (MHS);
(b) determinar o períododesse movimento harmônico pequeno.
Observações importantes extraídas do enunciado:
- As posições das cargas fixas e a posição do movimento estão no plano: a massa move-se ao longo do eixo
em . - Vamos usar a lei de Coulomb para as forças entre cargas puntuais e fazer aproximações para
.
Passo 2
Escrever a força elétrica produzida por uma das cargas fixas sobre a massa, usando a fórmula de Coulomb e decompondo em componentes.
Considere a massa na posição
. A carga fixa em
exerce sobre a massa uma força dada por
Aqui:
-
é a constante eletrostática (Coulomb), - o produto
indica atração (já usamos o sinal), - o vetor
é a posição da massa relativa à carga fixa, - e o denominador
vem da fórmula vetorial .
Portanto
A componente
dessa força é
A outra carga fixa em
dá uma contribuição simétrica: para essa carga o vetor relativo é
, e com o mesmo produto de cargas
obtemos a mesma componente
(mesma magnitude e mesmo sinal):
Somando as duas contribuições, a força total na direção
é
Note que o sinal negativo significa que, quando
,
(a força aponta para o centro) — é de fato restauradora.
Passo 3
Mostrar que para pequenos deslocamentos
a expressão para
é aproximadamente linear em
.
Temos
Para
é conveniente escrever
Agora usamos a expansão de Taylor (ou binomial) para
com
:
Substituindo
obtemos, até a ordem mais baixa em
,
Multiplicando por
e mantendo só o termo linear em
(ou seja, desprezando termos de ordem
e superiores), resulta
Essa é exatamente uma força do tipo
com constante efetiva
Portanto, para pequenos
a força é proporcional a
e aponta para
: é uma força restauradora linear.
Comentário didático rápido sobre a aproximação: o termo proporcional a
vem da expansão do fator e é muito menor que o termo linear quando
, por isso é legítimo desprezá-lo para estudar oscilações pequenas (regime de MHS).
Passo 4
Relacionar essa força linear com a equação do movimento e identificar o Movimento Harmônico Simples (MHS).
A segunda lei de Newton na direção
dá
Esta é a equação clássica do MHS:
A frequência angular
é
E o período
(tempo de uma oscilação completa) é
Passo 5
Resumo físico e interpretação para a prova (do jeito que você pode escrever rápido na hora):
- A soma das forças das duas cargas produz uma componente
total igual a . - Para
usamos expansão binomial e obtemos — força restauradora linear. - Assim o movimento é MHS com constantes
, e .
Força-seletiva: o sinal negativo mostra que a força sempre aponta para
, garantindo a natureza restauradora (se
puxa para a esquerda, se
puxa para a direita).
Resposta
(a)
(b)