Questão 01

Em um modelo de dispersão hidrodinâmica, a posição de uma partícula traçadora em um sistema de coordenadas tridimensional é descrita pela função vetorial \overrightarrow{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{t}). Determine o ponto de origem (ou estado estacionário inicial) da partícula, calculando o limite da função quando o parâmetro temporal \boldsymbol{t} tende a zero:
\vec{r}(t)=\left\langle 1+2 t^{3}, \frac{1-\cos (t)}{\operatorname{sen}(t)}, \frac{t^{2}-t}{t}\right\rangle

Passo 1

O enunciado pede: determinar o ponto de origem (estado estacionário inicial) da partícula, ou seja, calcular o limite da função vetorial quando o parâmetro temporal t tende a zero.
Informações dadas (peguei estas informações do enunciado):
\vec{r}(t)=\left\langle 1+2 t^{3}, \frac{1-\cos(t)}{\operatorname{sen}(t)}, \frac{t^{2}-t}{t}\right\rangle.
A pergunta concreta é: calcular
\lim_{t\to 0}\vec{r}(t),
o que equivale a calcular os limites de cada componente quando t\to 0.

Passo 2

Vamos calcular a primeira componente:
\text{componente 1: }1+2t^{3}.
Explicação didática: polinômios (ou soma de constantes e potências de t) são funções contínuas, então o limite quando t\to 0 é obtido apenas substituindo t=0. Aqui 2t^{3}\to 0 quando t\to 0, logo
\lim_{t\to 0}\bigl(1+2t^{3}\bigr)=1+2\cdot 0=1.

Passo 3

Agora a segunda componente:
\text{componente 2: }\frac{1-\cos(t)}{\operatorname{sen}(t)}.
Primeiro verifiquemos a forma indeterminada: quando t\to 0 temos 1-\cos(t)\to 0 e \operatorname{sen}(t)\to 0, então é do tipo 0/0. Para resolver limites do tipo 0/0 podemos usar a regra de l’Hôpital — que diz que se \lim_{t\to a} f(t)=0 e \lim_{t\to a} g(t)=0 e as derivadas existem perto de a, então
\lim_{t\to a}\frac{f(t)}{g(t)}=\lim_{t\to a}\frac{f'(t)}{g'(t)},
quando esse último limite existir.
Aplicando l’Hôpital aqui, tome f(t)=1-\cos(t) e g(t)=\sin(t). Suas derivadas são f'(t)=\sin(t) e g'(t)=\cos(t). Portanto
\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos(t)}{\sin(t)} =\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)} =\lim_{t\to 0}\tan(t).
Como \tan(t) é contínua em 0 e \tan(0)=0, concluímos que
\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos(t)}{\operatorname{sen}(t)}=0.
Observação alternativa (útil na prova): também se pode usar a expansão de Taylor \cos(t)\approx 1-\tfrac{t^{2}}{2} e \sin(t)\approx t para pequenos t. Assim (1-\cos t)/\sin t\approx (t^{2}/2)/t = t/2\to 0. Ambas as abordagens dão o mesmo resultado.

Passo 4

Agora a terceira componente:
\text{componente 3: }\frac{t^{2}-t}{t}.
Explicação didática: quando houver uma fração polinomial, é prático simplificar algebricamente antes de tomar o limite. Fatore o numerador:
\frac{t^{2}-t}{t}=\frac{t(t-1)}{t}.
Para t\neq 0 pode-se cancelar t, obtendo
\frac{t^{2}-t}{t}=t-1.
Como t-1 é contínua, basta substituir t=0:
\lim_{t\to 0}(t-1)=0-1=-1.

Passo 5

Juntando os resultados das três componentes, o limite da função vetorial quando t\to 0 é
\lim_{t\to 0}\vec{r}(t)=\left\langle 1,\;0,\;-1\right\rangle.
Interpretando: esse vetor \langle 1,0,-1\rangle é o ponto de origem (estado inicial) da partícula no modelo pedido.

Resposta

\langle 1,0,-1\rangle

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