Questão 01
Em um modelo de dispersão hidrodinâmica, a posição de uma partícula traçadora em um sistema de coordenadas tridimensional é descrita pela função vetorial
. Determine o ponto de origem (ou estado estacionário inicial) da partícula, calculando o limite da função quando o parâmetro temporal
tende a zero:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o ponto de origem (estado estacionário inicial) da partícula, ou seja, calcular o limite da função vetorial quando o parâmetro temporal
tende a zero.
Informações dadas (peguei estas informações do enunciado):
A pergunta concreta é: calcular
o que equivale a calcular os limites de cada componente quando
.
Passo 2
Vamos calcular a primeira componente:
Explicação didática: polinômios (ou soma de constantes e potências de
) são funções contínuas, então o limite quando
é obtido apenas substituindo
. Aqui
quando
, logo
Passo 3
Agora a segunda componente:
Primeiro verifiquemos a forma indeterminada: quando
temos
e
, então é do tipo
. Para resolver limites do tipo
podemos usar a regra de l’Hôpital — que diz que se
e
e as derivadas existem perto de
, então
quando esse último limite existir.
Aplicando l’Hôpital aqui, tome
e
. Suas derivadas são
e
. Portanto
Como
é contínua em
e
, concluímos que
Observação alternativa (útil na prova): também se pode usar a expansão de Taylor
e
para pequenos
. Assim
. Ambas as abordagens dão o mesmo resultado.
Passo 4
Agora a terceira componente:
Explicação didática: quando houver uma fração polinomial, é prático simplificar algebricamente antes de tomar o limite. Fatore o numerador:
Para
pode-se cancelar
, obtendo
Como
é contínua, basta substituir
:
Passo 5
Juntando os resultados das três componentes, o limite da função vetorial quando
é
Interpretando: esse vetor
é o ponto de origem (estado inicial) da partícula no modelo pedido.