1. Considere em R^3 o produto interno definido por
lang<=x, yrang<==x1 y1+4 x2 y2+2 x3 y2+2 x2 y3+5 x3 y3
a) Calcule |x|, para um qualquer vector x=(x1, x2, x3) in R^3;

Passo 1

O enunciado define em R^3 o produto interno\r
lang<=vec x,vec yrang<= = x1y1 + 4x2y2 + 2x3y2 + 2x2y3 + 5x3y3\r
e pede a norma de um vetor genérico vec x=(x1,x2,x3). Vamos usar a definição\r
|vec x| = raizlang<=vec x,vec xrang<=

Passo 2

Calculemos o produto interno de vec x consigo mesmo, substituindo yi = xi:\r
lang<=vec x,vec xrang<= = x1^2 + 4x2^2 + 2x3x2 + 2x2x3 + 5x3^2\r
Observe que os termos mistos 2x3x2 e 2x2x3 somam 4x2x3.

Passo 3

Portanto,\r
lang<=vec x,vec xrang<= = x1^2 + 4x2^2 + 4x2x3 + 5x3^2\r
E daí a norma é\r
|vec x| = raizx1^2 + 4x2^2 + 4x2x3 + 5x3^2

Resposta

|vec x| = raizx1^2 + 4x2^2 + 4x2x3 + 5x3^2

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