Calcule a quantidade dada se
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathbf{k}
\mathbf{b}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k}
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5 \mathbf{k}
\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores e pede um valor escalar. Os dados fornecidos são:
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}
\mathbf{b}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5\mathbf{k}
O que se pede é calcular o escalar \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).

Passo 2

Vou explicar a ideia e as fórmulas que vou usar (tudo bem mastigado).
  • Representação por componentes: se um vetor \mathbf{v} tem componentes (v_x,v_y,v_z), escrevemos \mathbf{v}=v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}+v_z\mathbf{k}.
    Para os vetores dados:
    \mathbf{a}=(1,1,-2),
    \mathbf{b}=(3,-2,1),
    \mathbf{c}=(0,1,-5).
    Aqui v_x,v_y,v_z são as componentes do vetor nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}.
  • Produto vetorial (cross product): para dois vetores \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) e \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} é o vetor
    \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\big(u_y v_z - u_z v_y,\; u_z v_x - u_x v_z,\; u_x v_y - u_y v_x\big).
    Cada componente é uma diferença de produtos, conforme mostrado. Esse resultado é um vetor perpendicular aos dois originais.
  • Produto escalar (dot product): para dois vetores \mathbf{p}=(p_x,p_y,p_z) e \mathbf{q}=(q_x,q_y,q_z), o produto escalar é
    \mathbf{p}\cdot\mathbf{q}=p_x q_x + p_y q_y + p_z q_z.
    É um número real.
  • Produto escalar do produto vetorial (produto triplo escalar): \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) significa primeiro calcular \mathbf{b}\times\mathbf{c} (um vetor) e depois fazer o produto escalar com \mathbf{a}. Esse é o procedimento que vou aplicar porque é direto e fácil de executar à mão.

Passo 3

Calcular \mathbf{b}\times\mathbf{c} usando a fórmula componente a componente. Primeiro reafirmando as componentes que peguei dos vetores:
\mathbf{b}=(3,-2,1) e \mathbf{c}=(0,1,-5) (peguei \mathbf{c} da expressão \mathbf{j}-5\mathbf{k}).
Agora aplico
\mathbf{b}\times\mathbf{c}=\big(b_y c_z - b_z c_y,\; b_z c_x - b_x c_z,\; b_x c_y - b_y c_x\big).
Substituindo os valores:
  • Componente x: b_y c_z - b_z c_y = (-2)\cdot(-5) - (1)\cdot(1) = 10 - 1 = 9.
  • Componente y: b_z c_x - b_x c_z = (1)\cdot(0) - (3)\cdot(-5) = 0 + 15 = 15.
  • Componente z: b_x c_y - b_y c_x = (3)\cdot(1) - (-2)\cdot(0) = 3 - 0 = 3.
Portanto
\mathbf{b}\times\mathbf{c}=9\mathbf{i}+15\mathbf{j}+3\mathbf{k}.

Passo 4

Agora faço o produto escalar \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}). As componentes de \mathbf{a} são (1,1,-2) e de \mathbf{b}\times\mathbf{c} são (9,15,3). Uso a fórmula do produto escalar:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = 1\cdot 9 + 1\cdot 15 + (-2)\cdot 3.
Calculando:
1\cdot 9 + 1\cdot 15 + (-2)\cdot 3 = 9 + 15 - 6 = 18.

Passo 5

Checagem alternativa (opcional, mas útil): o produto triplo escalar também é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}. Ou seja,
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2\\[4pt] 3 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -5 \end{pmatrix}.
Calculando o determinante por expansão (por exemplo pela primeira linha):
\det = 1\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] 1 & -5\end{pmatrix} - 1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] 0 & -5\end{pmatrix} + (-2)\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Agora cada pequeno determinante:
\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] 1 & -5\end{pmatrix}=(-2)(-5)-1\cdot1=10-1=9,
\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] 0 & -5\end{pmatrix}=3\cdot(-5)-1\cdot0=-15-0=-15,
\det\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=3\cdot1-(-2)\cdot0=3-0=3.
Substituindo:
\det = 1\cdot 9 - 1\cdot(-15) + (-2)\cdot 3 = 9 + 15 - 6 = 18,
confirmando o resultado anterior.]

Resposta

18

Exercícios relacionados