Calcule a quantidade dada se
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores e pede um valor escalar. Os dados fornecidos são:
O que se pede é calcular o escalar
.
Passo 2
Vou explicar a ideia e as fórmulas que vou usar (tudo bem mastigado).
-
Representação por componentes: se um vetor
tem componentes , escrevemos .
Para os vetores dados:
,
,
.
Aquisão as componentes do vetor nas direções . -
Produto vetorial (cross product): para dois vetores
e , o produto vetorial é o vetor Cada componente é uma diferença de produtos, conforme mostrado. Esse resultado é um vetor perpendicular aos dois originais. -
Produto escalar (dot product): para dois vetores
e , o produto escalar é É um número real. -
Produto escalar do produto vetorial (produto triplo escalar):
significa primeiro calcular (um vetor) e depois fazer o produto escalar com . Esse é o procedimento que vou aplicar porque é direto e fácil de executar à mão.
Passo 3
Calcular
usando a fórmula componente a componente. Primeiro reafirmando as componentes que peguei dos vetores:
e
(peguei
da expressão
).
Agora aplico
Substituindo os valores:
- Componente
: - Componente
: - Componente
:
Portanto
Passo 4
Agora faço o produto escalar
. As componentes de
são
e de
são
. Uso a fórmula do produto escalar:
Calculando:
Passo 5
Checagem alternativa (opcional, mas útil): o produto triplo escalar também é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de
. Ou seja,
Calculando o determinante por expansão (por exemplo pela primeira linha):
Agora cada pequeno determinante:
Substituindo:
confirmando o resultado anterior.]