Calcule a quantidade dada se
Passo 1
O enunciado fornece três vetores e pede a componente escalar de
ao longo de
. Dados:
-
. -
. -
. (este vetor não é necessário para o que foi pedido, mas foi dado)
O que se pede calcular é.
Passo 2
O que é a componente escalar de
na direção de
?
- A componente escalar de
ao longo de é o número que mede "quanto de " aponta na direção de . - A fórmula usada é
onde:
-
é o produto escalar entre e . -
é o comprimento (norma) de .
Explicação simples: o produto escalar dá a “projeção ponderada” e dividir pela norma decorrige pela extensão de , ficando só a quantidade escalar.
Passo 3
Como calcular o produto escalar e a norma na prática?
- Produto escalar: se
e , então
Isto significa multiplicar as componentes correspondentes e somar.
- Norma (comprimento): para
,
Isto vem do teorema de Pitágoras em 3D: soma dos quadrados das componentes, raiz quadrada.
Passo 4
Aplicar o produto escalar a
e
.
Primeiro escrevendo componentes:
Primeiro escrevendo componentes:
Agora calcular
Calcule termo a termo:
Somando:
Passo 5
Calcular a norma de
.
Usando a fórmula da norma,
Usando a fórmula da norma,
Portanto a norma de
é
.
Passo 6
Calcular a componente escalar dividindo o produto escalar pela norma:
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que
tem componente na direção oposta a
(ou seja, projetando
sobre
o resultado aponta no sentido contrário de
).
Passo 7
Dica para prova: memorizando a fórmula
, basta saber calcular produto escalar (multiplica e soma) e norma (soma dos quadrados, raiz). Em provas sem calculadora, é comum ficar com raiz no denominador, o que é totalmente aceitável se não pedirem racionalizar. Exemplo curto para treinar: se
e
, então
.