Calcule a quantidade dada se
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathbf{k}
\mathbf{b}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k}
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5 \mathbf{k}
\operatorname{comp}_{\mathbf{a}} \mathbf{b}

Passo 1

O enunciado fornece três vetores e pede a componente escalar de \mathbf{b} ao longo de \mathbf{a}. Dados:
  • \mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k}.
  • \mathbf{b} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}.
  • \mathbf{c} = \mathbf{j} - 5\mathbf{k}. (este vetor não é necessário para o que foi pedido, mas foi dado)
    O que se pede calcular é \operatorname{comp}_{\mathbf{a}} \mathbf{b}.

Passo 2

O que é a componente escalar de \mathbf{b} na direção de \mathbf{a}?
  • A componente escalar de \mathbf{b} ao longo de \mathbf{a} é o número que mede "quanto de \mathbf{b}" aponta na direção de \mathbf{a}.
  • A fórmula usada é
\operatorname{comp}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}=\frac{\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}}{\lVert \mathbf{a}\rVert},
onde:
  • \mathbf{b}\cdot\mathbf{a} é o produto escalar entre \mathbf{b} e \mathbf{a}.
  • \lVert \mathbf{a}\rVert é o comprimento (norma) de \mathbf{a}.
    Explicação simples: o produto escalar dá a “projeção ponderada” e dividir pela norma de \mathbf{a} corrige pela extensão de \mathbf{a}, ficando só a quantidade escalar.

Passo 3

Como calcular o produto escalar e a norma na prática?
  • Produto escalar: se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Isto significa multiplicar as componentes correspondentes e somar.
  • Norma (comprimento): para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3),
\lVert \mathbf{u}\rVert=\sqrt{u_1^{2}+u_2^{2}+u_3^{2}}.
Isto vem do teorema de Pitágoras em 3D: soma dos quadrados das componentes, raiz quadrada.

Passo 4

Aplicar o produto escalar a \mathbf{a} e \mathbf{b}.
Primeiro escrevendo componentes:
\mathbf{a}=(1,1,-2),\qquad \mathbf{b}=(3,-2,1).
Agora calcular
\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}=3\cdot 1 + (-2)\cdot 1 + 1\cdot(-2).
Calcule termo a termo:
3\cdot 1 = 3,\qquad (-2)\cdot 1 = -2,\qquad 1\cdot(-2) = -2.
Somando:
\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}=3-2-2=-1.

Passo 5

Calcular a norma de \mathbf{a}.
Usando a fórmula da norma,
\lVert \mathbf{a}\rVert=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.
Portanto a norma de \mathbf{a} é \sqrt{6}.

Passo 6

Calcular a componente escalar dividindo o produto escalar pela norma:
\operatorname{comp}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}=\frac{\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}}{\lVert \mathbf{a}\rVert=\sqrt{6}}=\frac{-1}{\sqrt{6}}.
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que \mathbf{b} tem componente na direção oposta a \mathbf{a} (ou seja, projetando \mathbf{b} sobre \mathbf{a} o resultado aponta no sentido contrário de \mathbf{a}).

Passo 7

Dica para prova: memorizando a fórmula \operatorname{comp}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}=(\mathbf{b}\cdot\mathbf{a})/\lVert\mathbf{a}\rVert, basta saber calcular produto escalar (multiplica e soma) e norma (soma dos quadrados, raiz). Em provas sem calculadora, é comum ficar com raiz no denominador, o que é totalmente aceitável se não pedirem racionalizar. Exemplo curto para treinar: se \mathbf{u}=(1,0,0) e \mathbf{v}=(2,3,0), então \operatorname{comp}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}=(2\cdot1+3\cdot0+0\cdot0)/\sqrt{1} = 2.

Resposta

-\dfrac{1}{\sqrt{6}}

Exercícios relacionados