Um radar-pistola emite um feixe de rádio de frequência f_{0} que, no sistema de referência de um carro que se aproxima, possui uma frequência maior f dada pela Equação
f=\sqrt{\frac{c+u}{c-u}} f_{0}
O feixe refletido apresenta a mesma frequencia f do sistema do carro, mas apresenta uma frequência f’ ainda maior no sistema do policial. O radar-pistola calcula a velocidade do carro comparando as frequências do feixe emitido e do feixe refletido deslocado duplamente por efeito Doppler.
(a) Mostre que a velocidade de posse de f e f_{0} o módulo da velocidade do automóvel é dado por:
u=c\left(\frac{f^{2}-f_{0}^{2}}{f^{2}+f_{0}^{2}}\right)
(b) Justifique o fato da velocidade relativa ser negativa.
(c) Mostre que também podemos escrever a velocidade relativa como:
u=c\left(\frac{\left(f / f_{0}\right)^{2}-1}{\left(f f_{0}\right)^{2}+1}\right)
(d) Mostre que a razão f / f_{0} é dada por:
\frac{f}{f_{0}}= \pm \sqrt{\frac{1+u / c}{1-u / c}}
(e) Como o equipamento mede as frequèncias f e f_{0} qual é a dificuldade técnica destes equipamentos em aferir estas velocidades?

Passo 1

O enunciado dá a relação entre a frequência emitida pelo radar f_{0} e a frequência recebida no sistema do carro que se aproxima f:
f=\sqrt{\frac{c+u}{c-u}}\,f_{0}.
Liste do que o problema pede e os dados fornecidos:
  • Dados fornecidos: a equação acima relacionando f, f_{0}, a velocidade da luz c e a velocidade relativa do carro u.
  • O enunciado diz que o carro se aproxima (logo há um desvio Doppler que aumenta a frequência).
  • Perguntas:
    (a) Mostrar que, em função de f e f_{0}, o módulo da velocidade do automóvel é u=c\left(\frac{f^{2}-f_{0}^{2}}{f^{2}+f_{0}^{2}}\right).(b) Justificar por que a velocidade relativa é negativa (explicar o sinal).
    (c) Mostrar que a mesma velocidade pode ser escrita em termos da razão f/f_{0}.
    (d) Mostrar que a razão f/f_{0} é dada por \frac{f}{f_{0}}=\pm\sqrt{\frac{1+u/c}{1-u/c}}.(e) Explicar qual é a dificuldade técnica dos equipamentos em aferir essas velocidades, dado que medem f e f_{0}.

Passo 2

Derivação da fórmula pedida em (a). Primeiro interpreto as variáveis:
  • f_{0} é a frequência emitida pelo radar no sistema do policial.
  • f é a frequência medida no sistema do carro (aumentada se o carro se aproxima).
  • c é a velocidade da luz.
  • u é a velocidade relativa (assinada) entre carro e radar; queremos isolar u.
Começo isolando u a partir da equação dada. Elevo ambos os lados ao quadrado para remover a raiz:
f^{2}=\frac{c+u}{c-u}\,f_{0}^{2}.
Agora multiplico ambos os lados por (c-u) para eliminar o denominador:
f^{2}(c-u)=f_{0}^{2}(c+u).
Desenvolvo os dois lados:
f^{2}c - f^{2}u = f_{0}^{2}c + f_{0}^{2}u.
Reuno os termos que contêm u num lado e os outros no outro lado. Vou passar os termos com u para a esquerda e os termos com c para a direita:
-f^{2}u - f_{0}^{2}u = f_{0}^{2}c - f^{2}c.
Factoro u no lado esquerdo:
-(f^{2}+f_{0}^{2})u = c(f_{0}^{2}-f^{2}).
Multiplico ambos os lados por -1:
(f^{2}+f_{0}^{2})u = c(f^{2}-f_{0}^{2}).
Finalmente isolo u dividindo por f^{2}+f_{0}^{2}:
u = c\frac{f^{2}-f_{0}^{2}}{f^{2}+f_{0}^{2}}.
Essa é exatamente a fórmula pedida em (a). Observação: esta expressão dá o valor com sinal (não só o módulo); se quiser o módulo |u| usa-se o valor absoluto da expressão.

Passo 3

Interpretação do sinal e justificativa pedida em (b).
Explicação didática do sinal: ao trabalhar com velocidades relativas precisamos escolher uma convenção de sinais (qual direção é positiva). Normalmente em problemas de radar escolhe-se:
  • direção positiva como “afastando-se do radar” (ou seja, do policial para o carro).
    Com essa convenção, se o carro se aproxima do radar a velocidade relativa u tem sinal negativo (porque o movimento é no sentido contrário ao definido como positivo). Portanto:
  • Quando o carro se aproxima, f>f_{0} e a razão (f^{2}-f_{0}^{2})/(f^{2}+f_{0}^{2}) é positiva, mas se na definição inicial u representa a velocidade do radar vista do carro com sinal trocado, ou se a convenção positiva é “afastar”, o valor físico da velocidade do carro em coordenadas do policial aparece como negativo. Em suma: o sinal negativo aparece por convenção de eixo (direção positiva escolhida); aproximar-se corresponde a velocidade relativa com sinal negativo nessa convenção.
Observação prática: em medições o que importa é o módulo da velocidade (rapidez). O radar normalmente reporta o valor positivo da velocidade e também indica se é aproximação ou afastamento via a direção do desvio (sinal).

Passo 4

Forma em termos da razão \,f/f_{0}\, — parte (c).
Se eu dividir numerador e denominador da expressão de u por f_{0}^{2}, obtenho uma forma apenas em função da razão r=f/f_{0}. Faço isso passo a passo:
u = c\frac{f^{2}-f_{0}^{2}}{f^{2}+f_{0}^{2}} = c\frac{\dfrac{f^{2}}{f_{0}^{2}}-1}{\dfrac{f^{2}}{f_{0}^{2}}+1}.
Definindo r=\dfrac{f}{f_{0}} (portanto r^{2}=\dfrac{f^{2}}{f_{0}^{2}}), obtemos
u = c\frac{r^{2}-1}{r^{2}+1}.
Escrevendo de volta em termos de f/f_{0}:
u = c\left(\frac{\left(f/f_{0}\right)^{2}-1}{\left(f/f_{0}\right)^{2}+1}\right).
Isto mostra a forma pedida (note que escrevemos em termos da razão adimensional f/f_{0}, o que é conveniente porque todas as grandezas ficam adimensionais na fração).

Passo 5

Derivação da expressão de f/f_{0} em termos de u/c — parte (d).
Voltando à equação inicial,
f=\sqrt{\frac{c+u}{c-u}}\,f_{0},
posso dividir ambos os lados por f_{0} para obter a razão desejada:
\frac{f}{f_{0}}=\sqrt{\frac{c+u}{c-u}}.
Matematicamente, ao resolver uma raiz quadrada obtemos também a raiz negativa possível, então
\frac{f}{f_{0}}=\pm\sqrt{\frac{c+u}{c-u}}.
Para deixar adimensional em termos de u/c, fatoro c do numerador e denominador dentro da raiz:
\frac{f}{f_{0}}=\pm\sqrt{\frac{1+u/c}{1-u/c}}.
Discussão do sinal: fisicamente a frequência é positiva, e a raiz positiva corresponde ao caso usual (quando se interpreta f como frequência recebida maior que f_{0} ao aproximar-se). O sinal negativo é a solução matemática da equação quadrática obtida ao elevar ao quadrado; não tem significado físico para frequência negativa (freqüências físicas são positivas), então escolhe-se o sinal positivo na aplicação prática. Contudo, ao manipular equações, é correto registrar o ±.

Passo 6

Dificuldade técnica dos equipamentos em aferir essas velocidades — parte (e).
Explicação didática e numérica do principal problema:
  • Para velocidades de automóveis u típicas (por exemplo u\sim 30\\ \text{m/s} que é cerca de 108\\ \text{km/h}), a razão u/c é extremamente pequena porque c é enorme ( c\approx 3\times10^{8}\\ \text{m/s}).
  • Usando a aproximação para u\ll c, a mudança relativa de frequência após dupla reflexão (efeito Doppler duplo do radar) é, para primeira ordem, \frac{\Delta f}{f_{0}}\approx 2\frac{u}{c}.Isso vem do desenvolvimento da expressão exata \frac{f'}{f_{0}}=\frac{c+u}{c-u} (produto dos dois deslocamentos) ou pela expansão em série da raiz.
  • Para u=30\\ \text{m/s}, \dfrac{2u}{c}\approx 2\times\frac{30}{3\times10^{8}} \approx 2\times10^{-7}. Se o radar opera em micro-ondas com f_{0}=10\\ \text{GHz}=10^{10}\\ \text{Hz}, o deslocamento absoluto de frequência é \Delta f \approx f_{0}\cdot 2\frac{u}{c} \approx 10^{10}\times 2\times10^{-7}=2000\\ \text{Hz}.Embora 2000 Hz não seja gigantesco, é pequeno comparado à frequência portadora de 10^{10}\\ \text{Hz} e exige medição muito precisa.
  • Dificuldades práticas que o equipamento enfrenta:
    1. Necessidade de alta resolução de frequência (bons filtros/FFT e estabilidade temporal suficiente) para detectar variações da ordem de poucos kHz sobre portadoras de GHz.
    2. Estabilidade do oscilador local (deriva do relógio/LO): qualquer instabilidade do oscilador é concorrente com o deslocamento Doppler e pode gerar erro.
    3. Ruído e relação sinal/ruído (SNR): reflexões fracas, múltiplos alvos, espalhamento e interferência tornam mais difícil estimar com precisão a mudança de frequência.
    4. Janelas de observação e resolução em frequência: maior resolução de frequência pede janelas de observação maiores no tempo (trade-off tempo-resolução).
    5. Ambiguidade de direção e efeito de múltiplos movimentos (movimento angular, componentes da velocidade não-radial) — o radar mede só a componente radial da velocidade.
  • Em resumo: o principal desafio técnico é que o desvio de frequência causado por velocidades humanas é muito pequeno em relação à frequência da portadora, exigindo eletrônica estável, processamento de sinal sofisticado e bom SNR para estimar u com precisão.

Resposta

(a) u=c\left(\dfrac{f^{2}-f_{0}^{2}}{f^{2}+f_{0}^{2}}\right)\n
(b) O sinal negativo aparece por convenção de direção: se tomarmos a direção positiva como “afastando-se do radar”, então um carro que se aproxima tem u<0; o sinal reflete essa escolha de eixo (na prática usa-se o módulo para a rapidez).\n
(c) u=c\left(\dfrac{\left(f/f_{0}\right)^{2}-1}{\left(f/f_{0}\right)^{2}+1}\right)\n
(d) \dfrac{f}{f_{0}}=\pm\sqrt{\dfrac{1+u/c}{1-u/c}} (na prática escolhe-se o sinal positivo porque f>0).\n
(e) Dificuldade técnica: o desvio Doppler é muito pequeno ( \Delta f/f_{0}\sim 2u/c para u\ll c), exigindo medição de frequências com altíssima resolução e estabilidade do oscilador, bom SNR e processamento de sinal sofisticado para distinguir a variação útil do ruído e das instabilidades.

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