Um radar-pistola emite um feixe de rádio de frequência
que, no sistema de referência de um carro que se aproxima, possui uma frequência maior
dada pela Equação
O feixe refletido apresenta a mesma frequencia
do sistema do carro, mas apresenta uma frequência f’ ainda maior no sistema do policial. O radar-pistola calcula a velocidade do carro comparando as frequências do feixe emitido e do feixe refletido deslocado duplamente por efeito Doppler.
(a) Mostre que a velocidade de posse de
e
o módulo da velocidade do automóvel é dado por:
(b) Justifique o fato da velocidade relativa ser negativa.
(c) Mostre que também podemos escrever a velocidade relativa como:
(d) Mostre que a razão
é dada por:
(e) Como o equipamento mede as frequèncias
e
qual é a dificuldade técnica destes equipamentos em aferir estas velocidades?
(a) Mostre que a velocidade de posse de
(c) Mostre que também podemos escrever a velocidade relativa como:
Passo 1
O enunciado dá a relação entre a frequência emitida pelo radar
e a frequência recebida no sistema do carro que se aproxima
:
Liste do que o problema pede e os dados fornecidos:
- Dados fornecidos: a equação acima relacionando
, , a velocidade da luz e a velocidade relativa do carro . - O enunciado diz que o carro se aproxima (logo há um desvio Doppler que aumenta a frequência).
- Perguntas:
(a) Mostrar que, em função dee , o módulo da velocidade do automóvel é (b) Justificar por que a velocidade relativa é negativa (explicar o sinal).
(c) Mostrar que a mesma velocidade pode ser escrita em termos da razão.
(d) Mostrar que a razãoé dada por (e) Explicar qual é a dificuldade técnica dos equipamentos em aferir essas velocidades, dado que medem e .
Passo 2
Derivação da fórmula pedida em (a). Primeiro interpreto as variáveis:
-
é a frequência emitida pelo radar no sistema do policial. -
é a frequência medida no sistema do carro (aumentada se o carro se aproxima). -
é a velocidade da luz. -
é a velocidade relativa (assinada) entre carro e radar; queremos isolar .
Começo isolando
a partir da equação dada. Elevo ambos os lados ao quadrado para remover a raiz:
Agora multiplico ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Desenvolvo os dois lados:
Reuno os termos que contêm
num lado e os outros no outro lado. Vou passar os termos com
para a esquerda e os termos com
para a direita:
Factoro
no lado esquerdo:
Multiplico ambos os lados por
:
Finalmente isolo
dividindo por
:
Essa é exatamente a fórmula pedida em (a). Observação: esta expressão dá o valor com sinal (não só o módulo); se quiser o módulo
usa-se o valor absoluto da expressão.
Passo 3
Interpretação do sinal e justificativa pedida em (b).
Explicação didática do sinal: ao trabalhar com velocidades relativas precisamos escolher uma convenção de sinais (qual direção é positiva). Normalmente em problemas de radar escolhe-se:
- direção positiva como “afastando-se do radar” (ou seja, do policial para o carro).
Com essa convenção, se o carro se aproxima do radar a velocidade relativatem sinal negativo (porque o movimento é no sentido contrário ao definido como positivo). Portanto: - Quando o carro se aproxima,
e a razão é positiva, mas se na definição inicial representa a velocidade do radar vista do carro com sinal trocado, ou se a convenção positiva é “afastar”, o valor físico da velocidade do carro em coordenadas do policial aparece como negativo. Em suma: o sinal negativo aparece por convenção de eixo (direção positiva escolhida); aproximar-se corresponde a velocidade relativa com sinal negativo nessa convenção.
Observação prática: em medições o que importa é o módulo da velocidade (rapidez). O radar normalmente reporta o valor positivo da velocidade e também indica se é aproximação ou afastamento via a direção do desvio (sinal).
Passo 4
Forma em termos da razão
— parte (c).
Se eu dividir numerador e denominador da expressão de
por
, obtenho uma forma apenas em função da razão
. Faço isso passo a passo:
Definindo
(portanto
), obtemos
Escrevendo de volta em termos de
:
Isto mostra a forma pedida (note que escrevemos em termos da razão adimensional
, o que é conveniente porque todas as grandezas ficam adimensionais na fração).
Passo 5
Derivação da expressão de
em termos de
— parte (d).
Voltando à equação inicial,
posso dividir ambos os lados por
para obter a razão desejada:
Matematicamente, ao resolver uma raiz quadrada obtemos também a raiz negativa possível, então
Para deixar adimensional em termos de
, fatoro
do numerador e denominador dentro da raiz:
Discussão do sinal: fisicamente a frequência é positiva, e a raiz positiva corresponde ao caso usual (quando se interpreta
como frequência recebida maior que
ao aproximar-se). O sinal negativo é a solução matemática da equação quadrática obtida ao elevar ao quadrado; não tem significado físico para frequência negativa (freqüências físicas são positivas), então escolhe-se o sinal positivo na aplicação prática. Contudo, ao manipular equações, é correto registrar o ±.
Passo 6
Dificuldade técnica dos equipamentos em aferir essas velocidades — parte (e).
Explicação didática e numérica do principal problema:
- Para velocidades de automóveis
típicas (por exemplo que é cerca de ), a razão é extremamente pequena porque é enorme ( ). - Usando a aproximação para
, a mudança relativa de frequência após dupla reflexão (efeito Doppler duplo do radar) é, para primeira ordem, Isso vem do desenvolvimento da expressão exata (produto dos dois deslocamentos) ou pela expansão em série da raiz. - Para
, . Se o radar opera em micro-ondas com , o deslocamento absoluto de frequência é Embora 2000 Hz não seja gigantesco, é pequeno comparado à frequência portadora de e exige medição muito precisa. - Dificuldades práticas que o equipamento enfrenta:
- Necessidade de alta resolução de frequência (bons filtros/FFT e estabilidade temporal suficiente) para detectar variações da ordem de poucos kHz sobre portadoras de GHz.
- Estabilidade do oscilador local (deriva do relógio/LO): qualquer instabilidade do oscilador é concorrente com o deslocamento Doppler e pode gerar erro.
- Ruído e relação sinal/ruído (SNR): reflexões fracas, múltiplos alvos, espalhamento e interferência tornam mais difícil estimar com precisão a mudança de frequência.
- Janelas de observação e resolução em frequência: maior resolução de frequência pede janelas de observação maiores no tempo (trade-off tempo-resolução).
- Ambiguidade de direção e efeito de múltiplos movimentos (movimento angular, componentes da velocidade não-radial) — o radar mede só a componente radial da velocidade.
- Em resumo: o principal desafio técnico é que o desvio de frequência causado por velocidades humanas é muito pequeno em relação à frequência da portadora, exigindo eletrônica estável, processamento de sinal sofisticado e bom SNR para estimar
com precisão.
Resposta
(a)
\n
(b) O sinal negativo aparece por convenção de direção: se tomarmos a direção positiva como “afastando-se do radar”, então um carro que se aproxima tem ; o sinal reflete essa escolha de eixo (na prática usa-se o módulo para a rapidez).\n
(c) \n
(d) (na prática escolhe-se o sinal positivo porque
).\n
(e) Dificuldade técnica: o desvio Doppler é muito pequeno ( para
), exigindo medição de frequências com altíssima resolução e estabilidade do oscilador, bom SNR e processamento de sinal sofisticado para distinguir a variação útil do ruído e das instabilidades.
(b) O sinal negativo aparece por convenção de direção: se tomarmos a direção positiva como “afastando-se do radar”, então um carro que se aproxima tem
(c)
(d)
(e) Dificuldade técnica: o desvio Doppler é muito pequeno (