Sejam G um grupo multiplicativo comutativo. Se a in G, mostre que a aplicação f(x)=a x a^-1 é um homomorfismo de G.

Passo 1

Resumindo: temos um grupo abeliano G com operação multiplicativa, e definimos
fcolon Gto G, f(x)=a,x,a^-1
Queremos mostrar que f é homomorfismo, ou seja, que para todo x,yin G vale
f(xy)=f(x),f(y)

Passo 2

Para todo xin G, como ain G e a^-1in G, e G é fechado na operação, segue que
f(x)=a,x,a^-1in G

Passo 3

Para quaisquer x,yin G calculamos
f(xy)=a,(xy),a^-1
Pela associatividade e comutatividade de G, podemos agrupar e permutar fatores de modo a obter
a,(xy),a^-1 =(a,x),(y,a^-1) =(a,x),(a^-1,y) =(a,x,a^-1),(a,y,a^-1)

Passo 4

Como a,x,a^-1=f(x) e a,y,a^-1=f(y), concluímos
f(xy)=f(x),f(y),
logo f preserva a operação e é, portanto, um homomorfismo de G.

Resposta

A aplicação fcolon Gto G dada por f(x)=a,x,a^-1 é um homomorfismo.

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