Sejam G um grupo multiplicativo comutativo. Se
, mostre que a aplicação
é um homomorfismo de G.
Passo 1
Resumindo: temos um grupo abeliano
com operação multiplicativa, e definimos
Queremos mostrar que
é homomorfismo, ou seja, que para todo
vale
Passo 2
Para todo
, como
e
, e
é fechado na operação, segue que
Passo 3
Para quaisquer
calculamos
Pela associatividade e comutatividade de
, podemos agrupar e permutar fatores de modo a obter
Passo 4
Como
e
, concluímos
logo
preserva a operação e é, portanto, um homomorfismo de
.
Resposta
A aplicação
dada por
é um homomorfismo.