Deseja-se transportar 12 \mathrm{ton} / \mathrm{h} de um sólido com \rho_{\mathrm{s}}=1,7 \mathrm{ton} / \mathrm{m}^{3} e tamanho médio das partículas 3,2 \mathrm{~mm}. O sólido, alimentado depois do ventilador, será transportado por 47 m de dutos horizontais, 7,3 \mathrm{~m} de dutos verticais e 5 cotovelos, sendo posteriormente coletado em um ciclone. Dimensionar o transportador. Dados: Le (curva \left.90^{\circ}\right)=14,4 \mathrm{~m}, \Delta \mathrm{P}_{\mathrm{c}}=60 \mathrm{mmca}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente “dimensione o transportador”: isto significa escolher a vazão de ar, a velocidade de transporte, o diâmetro do duto e estimar a carga de pressão que o ventilador precisa vencer (pressões ao longo da linha, subida vertical e perda no ciclone). Dados fornecidos (vou escrever todos os números que são importantes):
\text{vazão sólida} \; \dot{m}_s = 12\\ \mathrm{ton/h}ãó
\rho_s = 1{,}7\\ \mathrm{ton/m^3}
d_p = 3{,}2\\ \mathrm{mm}
L_{\text{horiz}} = 47\\ \mathrm{m},\quad L_{\text{vert}} = 7{,}3\\ \mathrm{m}
\text{nº de cotovelos } = 5,\quad L_e(\text{curva }90^\circ)=14{,}4\\ \mathrm{m}º
\Delta P_c = 60\\ \mathrm{mmca}
Observações úteis (considerei condições ambientes porque o enunciado não fornece ar a outra condição): densidade do ar \rho_g=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3} e viscosidade dinâmica \mu=1{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Conversões iniciais que vou usar:
\dot{m}_s=\frac{12\,000\\ \mathrm{kg}}{3600\\ \mathrm{s}}=3{,}333\\ \mathrm{kg/s}, \qquad \rho_s=1700\\ \mathrm{kg/m^3}, \qquad d_p=0{,}0032\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Planejamento do método (sem cálculo ainda). Vou:
  1. Calcular a velocidade terminal de queda da partícula \,V_t (isso nos dá uma referência do quão rápido o ar precisa ser para manter as partículas suspensas). Para isso uso o balanço peso - arrasto e itero implicitamente o coeficiente de arrasto.
  2. Adotar um fator de segurança sobre \,V_t para escolher a velocidade de transporte U (partículas grandes pedem fator maior).
  3. Escolher uma concentração de sólidas por volume do ar (ou massa de sólidas por m^3 de ar) típica para transporte pneumático em fase diluída; com isso calculo a vazão volumétrica de ar Q, a área e o diâmetro do duto.
  4. Calcular as perdas de carga: atrito nas tubulações (usando comprimento equivalente que inclui cotovelos), pressão para elevar as partículas na coluna vertical e a perda no ciclone. Somo todas e obtenho a pressão total que o ventilador deve fornecer.
  5. Calcular potência teórica do ventilador e potência do motor supondo uma eficiência típica.
Vou explicar e aplicar cada fórmula em detalhes nos passos seguintes.

Passo 3

Cálculo da velocidade terminal da partícula \,V_t (aula rápida e passo a passo).
Teoria (curta e clara): a velocidade terminal é a velocidade na qual o peso aparente da partícula é equilibrado pela força de arrasto. Para partículas relativamente grandes (não no regime de Stokes), usamos a forma genérica:
\text{força peso aparente} = \text{força de arrasto}çç
\frac{\pi}{6}d_p^3(\rho_s-\rho_g)g = \frac{1}{2}C_D\,\rho_g\left(\frac{\pi d_p^2}{4}\right)V_t^2.
Isolando V_t^2:
V_t^2=\frac{\frac{4}{3}d_p(\rho_s-\rho_g)g}{C_D\,\rho_g}.
Aqui C_D depende do número de Reynolds da partícula Re_p=\dfrac{\rho_g V_t d_p}{\mu}. Para Re_p\gtrsim1000 vale bem a aproximação C_D\approx0{,}44. Vamos fazer essa iteração aproximada.
Cálculo numérico (vou testar com C_D=0{,}44):
\frac{4}{3}d_p(\rho_s-\rho_g)g = \frac{4}{3}\cdot0{,}0032\cdot(1700-1{,}2)\cdot9{,}81\approx71{,}15.
C_D\,\rho_g=0{,}44\cdot1{,}2=0{,}528.
V_t^2\approx\frac{71{,}15}{0{,}528}=134{,}8\quad\Rightarrow\quad V_t\approx11{,}6\\ \mathrm{m/s}.
Verificação de Re_p:
Re_p=\frac{\rho_g V_t d_p}{\mu} =\frac{1{,}2\cdot11{,}6\cdot0{,}0032}{1{,}8\times10^{-5}}\approx2{,}48\times10^3,
este Re_p justifica o uso de C_D\approx0{,}44. Portanto:
\boxed{V_t\approx11{,}6\\ \mathrm{m/s}.}

Passo 4

Escolha da velocidade de transporte U (e justificação didática).
Explicação: para que as partículas não sedimentem é comum adotar uma velocidade de transporte maior que a velocidade terminal. Para partículas grandes e densas costuma-se usar um fator entre 1{,}2 e 1{,}8. Vou adotar um fator conservador de 1{,}5 (por ser partícula relativamente grande 3{,}2\\ \mathrm{mm} e para evitar risco de queda em trechos lentos):
U = 1{,}5\;V_t = 1{,}5\cdot11{,}6\approx17{,}4\\ \mathrm{m/s}.
Comentário amistoso: podia escolher 1{,}2 se estivesse mais apertado em potência, mas aí o risco de deposição aumenta — melhor ser prudente quando se está estudando para a prova 😃

Passo 5

Escolha da concentração sólida por volume (ou massa por volume) e cálculo da vazão volumétrica Q.
Explicação didática: existem diversas práticas de dimensionamento. Uma forma simples e prática é fixar a massa de sólidos por metro cúbico de ar \beta (unidade \mathrm{kg\\ solids/m^3\\ air}). Em transporte em fase diluída valores típicos ficam entre 5 e 50\\ \mathrm{kg/m^3} dependendo do caso; para partículas grandes escolhi um valor moderado e prático \beta=10\\ \mathrm{kg/m^3} (equilíbrio entre vazão de ar e carga de pressão).
Com \beta temos:
Q=\frac{\dot{m}_s}{\beta}=\frac{3{,}333\\ \mathrm{kg/s}}{10\\ \mathrm{kg/m^3}}=0{,}333\\ \mathrm{m^3/s}.
Também podemos expressar em m^3/h:
Q=0{,}333\cdot3600\approx1200\\ \mathrm{m^3/h}.

Passo 6

Cálculo da área do duto A e do diâmetro D.
Relação básica:
A=\frac{Q}{U}.
A=\frac{0{,}333}{17{,}4}\approx0{,}01915\\ \mathrm{m^2}.
Diâmetro equivalente:
D=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}=\sqrt{\frac{4\cdot0{,}01915}{\pi}}\approx0{,}156\\ \mathrm{m}.
Conclusão prática: diâmetro calculado D\approx0{,}156\\ \mathrm{m} (ou seja, cerca de 156\\ \mathrm{mm}). Em projeto normalmente arredonda-se para um diâmetro comercial: D=0{,}16\\ \mathrm{m} (160 mm) é uma boa opção.
Verificações rápidas (regras práticas):
  • razão D/d_p \approx 0{,}156/0{,}0032\approx49 (muito maior que 6) → sem risco geométrico imediato de obstrução.
  • fração volumétrica das sólidas \alpha:
\alpha=\frac{\dot{m}_s}{\rho_s Q}=\frac{3{,}333}{1700\cdot0{,}333}\approx0{,}00588\\ (0{,}588\%),
valor pequeno, coerente com fase diluída.

Passo 7

Cálculo da perda de carga por atrito ao longo do duto (explicando as fórmulas).
Teoria curta: para escoamento do fluido carregado de partículas podemos usar a expressão de perda por atrito semelhante à perda para fluido único, mas usando a densidade da mistura \rho_m no termo dinâmico:
\Delta P_{\text{atrito}} = f\;\frac{L_{\text{eq}}}{D}\;\frac{\rho_m U^2}{2},
onde f é fator de atrito de Darcy–Weisbach e \rho_m=\rho_g+\alpha\rho_s é a densidade aparente da mistura (a explicação: o termo \alpha\rho_s é a contribuição das partículas por volume).
Cálculo dos parâmetros:
  • Comprimento equivalente total: somamos comprimento reto e equivalentes dos cotovelos:
L_{\text{eq}}=L_{\text{horiz}}+L_{\text{vert}} + N_{\text{curvas}}\cdot L_e =47+7{,}3+5\cdot14{,}4=126{,}3\\ \mathrm{m}.
  • Fração volumétrica \alpha foi calculada no passo anterior \alpha\approx0{,}00588.
  • Densidade da mistura:
\rho_m=\rho_g+\alpha\rho_s=1{,}2 + 0{,}00588\cdot1700 \approx11{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Re do ar (para estimar f):
Re=\frac{\rho_g U D}{\mu}=\frac{1{,}2\cdot17{,}4\cdot0{,}156}{1{,}8\times10^{-5}}\approx1{,}81\times10^5,
regime turbulento. Uso a correlação de Blasius (válida em uma faixa prática) para obter f:
f\approx\frac{0{,}3164}{Re^{0{,}25}}\approx\frac{0{,}3164}{(1{,}81\times10^5)^{0{,}25}}\approx0{,}0153.
  • Agora o termo dinâmico:
\frac{\rho_m U^2}{2}= \frac{11{,}2\cdot(17{,}4)^2}{2}\approx1{,}697\times10^3\\ \mathrm{Pa}.
  • Razão L_{\text{eq}}/D =126{,}3/0{,}156\approx808{,}7.
Agora a perda por atrito:
\Delta P_{\text{atrito}}=0{,}0153\cdot808{,}7\cdot1696{,}5\approx2{,}10\times10^4\\ \mathrm{Pa}\approx21{,}0\\ \mathrm{kPa}.

Passo 8

Perdas adicionais: elevação das partículas e perda no ciclone.
  1. Elevação das partículas (energia para levantar as partículas na coluna vertical):
    Explicação: para elevar a massa de sólidos \dot{m}_s pela altura H=L_{\text{vert}} a potência por unidade de vazão volumétrica equivale a uma pressão adicional
\Delta P_{\text{elevação}}=\frac{\dot{m}_s g H}{Q}.çã
Cálculo:
\Delta P_{\text{elevação}}=\frac{3{,}333\cdot9{,}81\cdot7{,}3}{0{,}333}\approx7{,}16\times10^2\\ \mathrm{Pa}\approx0{,}72\\ \mathrm{kPa}.çã
  1. Perda no ciclone (dada):
\Delta P_c=60\\ \mathrm{mmca}=60\cdot9{,}81\approx588{,}6\\ \mathrm{Pa}\approx0{,}59\\ \mathrm{kPa}.

Passo 9

Pressão total que o ventilador precisa vencer e potência.
Somando:
\Delta P_{\text{total}}=\Delta P_{\text{atrito}}+\Delta P_{\text{elevação}}+\Delta P_c \approx21{,}03\\ \mathrm{kPa}+0{,}72\\ \mathrm{kPa}+0{,}59\\ \mathrm{kPa}\approx22{,}34\\ \mathrm{kPa}.çã
(Arredondando: \Delta P_{\text{total}}\approx22{,}3\\ \mathrm{kPa}.)
Potência teórica do ventilador (potência útil no ar):
P_{\text{útil}}=Q\cdot\Delta P_{\text{total}}=0{,}333\\ \mathrm{m^3/s}\cdot22{,}334\cdot10^3\\ \mathrm{Pa}\approx7{,}44\times10^3\\ \mathrm{W}\approx7{,}44\\ \mathrm{kW}.ú
Assumindo eficiência global do conjunto ventilador + motor \eta=0{,}6 (valor típico), potência do motor:
P_{\text{motor}}=\frac{P_{\text{útil}}}{\eta}\approx\frac{7{,}44}{0{,}6}\approx12{,}4\\ \mathrm{kW}.ú

Passo 10

Checagens finais e recomendações práticas (rápidas e amigáveis).
  • Razão D/d_p muito boa ( \approx49), não há risco geométrico imediato.
  • Fração volumétrica \alpha\approx0{,}00588 (0,588%) é consistente com transporte diluído.
  • Se desejar reduzir a pressão requerida, pode-se aumentar o diâmetro do duto (por exemplo adotar D=0{,}20\\ \mathrm{m}) — o cálculo é iterativo: maior D reduz L_{\text{eq}}/D e diminui \Delta P_{\text{atrito}} mas aumenta custo do duto.
  • Se o projeto exigir economia de energia, poderia testar U menor (fator 1{,}2 sobre V_t) mas isso aumenta o risco de deposição; medir sensibilidade antes de adotar.

Resposta

Diâmetro calculado D\approx0{,}156\\ \mathrm{m} (adotar comercial D=0{,}16\\ \mathrm{m}).
Velocidade de transporte U=17{,}4\\ \mathrm{m/s}.
Vazão volumétrica de ar Q=0{,}333\\ \mathrm{m^3/s} ( \approx1200\\ \mathrm{m^3/h}).
Perda de carga total a vencer \Delta P_{\text{total}}\approx22{,}3\\ \mathrm{kPa}.
Potência estimada do motor (assumindo \eta=0{,}6) P_{\text{motor}}\approx12{,}4\\ \mathrm{kW}.

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