Calcule o quociente das diferenças para cada função dada e simplifique sua resposta
Se f(x)=2 x-5 ; \frac{f(x)-f(1)}{x-1}.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=2x-5\, e pede que se calcule o quociente das diferenças
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é \,f(x)=2x-5\,.
  • A expressão pedida é \displaystyle \frac{f(x)-f(1)}{x-1}.
  • Deve-se simplificar o resultado (assumir x\neq1 porque o denominador seria zero).

Passo 2

Primeiro calculemos \,f(1)\, fazendo a substituição x=1 em \,f(x)=2x-5.
f(1)=2\cdot 1 - 5 = 2 - 5 = -3.
Explicação didática: para avaliar uma função em um ponto, substitui-se o valor do ponto na expressão da função e faz-se as operações indicadas.

Passo 3

Agora formamos o numerador do quociente das diferenças, substituindo f(1)=-3:
f(x)-f(1) = (2x-5) - (-3).
Simplificando o sinal:
(2x-5) - (-3) = 2x-5+3 = 2x-2.
Explicação didática: subtrair um número negativo é o mesmo que somar o seu oposto; aqui -(-3)=+3.

Passo 4

Colocando o numerador sobre x-1 temos
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{2x-2}{x-1}.
Fatoramos o numerador para simplificar:
2x-2 = 2(x-1),
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\frac{2x-2}{x-1}=\frac{2(x-1)}{x-1}.
Como x\neq1 podemos cancelar o fator comum (x-1), obtendo uma expressão constante (igual à inclinação da reta f):
\frac{2(x-1)}{x-1}=2\quad(\text{para }x\neq1).
Explicação didática: ao fatorar polinômios, procura-se um fator comum para simplificar frações; cancelar (x-1) é válido somente quando (x-1)\neq0, isto é, x\neq1. Para funções lineares f(x)=ax+b, o quociente das diferenças \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} sempre dá a (a inclinação).

Resposta

2

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