Questão 2) Calcular o gradiente do campo escalar f(x, y, z)=3 x^{2} y z+6 x y^{2} z^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente do campo escalar f dado por
f(x,y,z)=3x^{2}yz+6xy^{2}z^{3}.
Informações relevantes:
  • A função f é uma função de três variáveis x,y,z.
  • O que se pede é o gradiente de f, ou seja, o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x, y e z.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos representá‑lo.
  • O gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\right).
  • Derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} significa: derivar em relação a x tratando y e z como constantes. O mesmo vale para as derivadas parciais em y e z.

Passo 3

Regras de derivação que vamos usar (lembrando devagar, como na prova):
  • Regra do fator constante: se c é constante, \dfrac{d}{dx}(c\cdot g(x))=c\cdot \dfrac{d}{dx}g(x).
  • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Quando uma expressão é um produto de uma função de x por constantes (ou por fatores que não dependem de x), trata‑se igual usando as regras acima (os fatores que não dependem de x entram como constantes).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo.
  • Separe f em dois termos:
f(x,y,z)=3x^{2}yz + 6xy^{2}z^{3}.
  • Derivando o primeiro termo em relação a x: y e z são constantes, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{2}yz\big)=3yz\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=3yz\cdot 2x=6xyz.
  • Derivando o segundo termo em relação a x: y e z são constantes, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(6xy^{2}z^{3}\big)=6y^{2}z^{3}\cdot\frac{d}{dx}(x)=6y^{2}z^{3}.
  • Somando os dois resultados:
\frac{\partial f}{\partial x}=6xyz+6y^{2}z^{3}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} passo a passo.
  • Derivando o primeiro termo em relação a y: x e z são constantes,
\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}yz\big)=3x^{2}z\cdot\frac{d}{dy}(y)=3x^{2}z.
  • Derivando o segundo termo em relação a y: x e z são constantes; y^{2} 2y, logo
\frac{\partial}{\partial y}\big(6xy^{2}z^{3}\big)=6x z^{3}\cdot\frac{d}{dy}(y^{2})=6x z^{3}\cdot 2y=12xyz^{3}.
  • Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}z+12xyz^{3}.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial z} passo a passo.
  • Derivando o primeiro termo em relação a z: x e y constantes,
\frac{\partial}{\partial z}\big(3x^{2}yz\big)=3x^{2}y\cdot\frac{d}{dz}(z)=3x^{2}y.
  • Derivando o segundo termo em relação a z: x e y constantes; z^{3} 3z^{2}, então
\frac{\partial}{\partial z}\big(6xy^{2}z^{3}\big)=6xy^{2}\cdot\frac{d}{dz}(z^{3})=6xy^{2}\cdot 3z^{2}=18xy^{2}z^{2}.
  • Somando:
\frac{\partial f}{\partial z}=3x^{2}y+18xy^{2}z^{2}.

Passo 7

Juntar as três derivadas parciais para formar o gradiente.
  • Assim,
\nabla f(x,y,z)=\Big(6xyz+6y^{2}z^{3},\;3x^{2}z+12xyz^{3},\;3x^{2}y+18xy^{2}z^{2}\Big).
  • Dica rápida para a prova: ao ver polinômios em várias variáveis, sempre trate as outras variáveis como constantes e aplique a regra da potência e fator constante; separar em termos facilita e evita erro.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\big(6xyz+6y^{2}z^{3},\;3x^{2}z+12xyz^{3},\;3x^{2}y+18xy^{2}z^{2}\big)

Exercícios relacionados