Questão 2) Calcular o gradiente do campo escalar
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente do campo escalar
dado por
Informações relevantes:
- A função
é uma função de três variáveis . - O que se pede é o gradiente de
, ou seja, o vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a , e .
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos representá‑lo.
- O gradiente de uma função escalar
é o vetor das derivadas parciais:
- Derivada parcial
significa: derivar em relação a tratando e como constantes. O mesmo vale para as derivadas parciais em e .
Passo 3
Regras de derivação que vamos usar (lembrando devagar, como na prova):
- Regra do fator constante: se
é constante, . - Regra da potência:
. - Quando uma expressão é um produto de uma função de
por constantes (ou por fatores que não dependem de ), trata‑se igual usando as regras acima (os fatores que não dependem de entram como constantes).
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- Separe
em dois termos:
- Derivando o primeiro termo em relação a
: e são constantes, então
- Derivando o segundo termo em relação a
: e são constantes, então
- Somando os dois resultados:
Passo 5
Calcular
passo a passo.
- Derivando o primeiro termo em relação a
: e são constantes,
- Derivando o segundo termo em relação a
: e são constantes; dá , logo
- Somando:
Passo 6
Calcular
passo a passo.
- Derivando o primeiro termo em relação a
: e constantes,
- Derivando o segundo termo em relação a
: e constantes; dá , então
- Somando:
Passo 7
Juntar as três derivadas parciais para formar o gradiente.
- Assim,
- Dica rápida para a prova: ao ver polinômios em várias variáveis, sempre trate as outras variáveis como constantes e aplique a regra da potência e fator constante; separar em termos facilita e evita erro.