Consideremos o polinômio p(x)=2 x^3-6 x^2+m x+n. Se p(2)=0 e p(-1)=-6, calcule os valores de m e n.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o polinômio
p(x)=2x^3-6x^2+m,x+n
e as condições p(2)=0 e p(-1)=-6. O conteúdo aqui é obter duas equações lineares em m e n por substituição e, em seguida, resolver esse sistema.

Passo 2

Substituindo x=2 em p(x) e usando p(2)=0, temos
p(2)=2cdot2^3-6cdot2^2+mcdot2+n=0
Calculando os termos numéricos:
2cdot8-6cdot4+2m+n=0Longrightarrow16-24+2m+n=0Longrightarrow2m+n=8

Passo 3

Substituindo x=-1 em p(x) e usando p(-1)=-6, obtemos
p(-1)=2cdot(-1)^3-6cdot(-1)^2+mcdot(-1)+n=-6
Isso dá
-2-6-m+n=-6Longrightarrow-8-m+n=-6Longrightarrow -m+n=2

Passo 4

Agora resolvemos o sistema
2m+n=8, -m+n=2
Da segunda equação vem n=m+2. Substituindo em 2m+n=8:
2m+(m+2)=8Longrightarrow3m+2=8Longrightarrow m=2,
e então n=2+2=4.

Resposta

m=2 e n=4.

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