Calcule integralegral duplaOmega raiz25-x^2-y^2 d A, e Omega=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 25. R: 250 pi3

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral duplaOmega raiz25 - x^2 - y^2,dA
onde Omega é o disco x^2+y^2<=25. Para isso vamos usar coordenadas polares e uma substituição simples.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta, 0<= r<=5, 0<=theta<=2pi,
e o elemento de área é dA=r,dr,dtheta. Assim a integral vira
integral0^2piintegral0^5raiz25 - r^2;r,dr,dtheta

Passo 3

A parte angular separa-se facilmente:
integral0^2pidtheta = 2pi,
ficando apenas a integral radial
integral0^5r,raiz25 - r^2,dr

Passo 4

Para calcular
I = integral0^5r,raiz25 - r^2,dr
faço a substituição u=25 - r^2, de onde du=-2r,dr. Os limites r=0to u=25 e r=5to u=0 dão
I = integral25^0raizu,l(-tfrac12,dur) = tfrac12integral0^25u^1/2,du = tfrac12l[tfrac23,u^3/2r]0^25 = tfrac13,25^3/2 = tfrac1253

Passo 5

Multiplicando pelo fator angular 2pi obtemos
integral duplaOmegaraiz25 - x^2 - y^2,dA =2picdottfrac1253 =tfrac250pi3

Resposta

250pi3

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