Calcule r(t) wed>= x(t) e lang<= r(t), x(t)rang<= onde r(t)=t i+2 j+t^2 k e x(t)=t i-i+k.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial e o produto escalar entre os vetores r(t)=t,vec i+2,vec j+t^2,vec k e x(t)=t,vec i-vec i+vec k. O conteúdo envolvido é definição de produto escalar (soma dos produtos de componentes) e produto vetorial (determinante 3×3).

Passo 2

Vamos primeiro extrair as componentes de cada vetor. Para isso escrevemos cada vetor na forma (x,y,z):
r(t)=(t,;2,;t^2),
x(t)=(t-1,;0,;1)

Passo 3

O produto escalar é dado por lang<= r(t),x(t)rang<== xr,xx+yr,yx+zr,zx. Substituindo:
lang<= r(t),x(t)rang<==t,(t-1)+2cdot0+t^2cdot1= t^2-t+t^2=2t^2-t

Passo 4

O produto vetorial usa o determinante:
r(t)wed>= x(t)= vec i & vec j & vec k t & 2 & t^2 t-1 & 0 & 1
Expandindo pela primeira linha temos:
vec i,(2cdot1- t^2cdot0)-vec j,(tcdot1-t^2,(t-1))+vec k,(tcdot0-2,(t-1))

Passo 5

Agora simplificamos cada componente:
Para vec i: 2cdot1-0=2
Para vec j: t - t^2(t-1)=t - (t^3-t^2)= -t^3+t^2+t, mas com o sinal menos fica +t^3-t^2-t.
Para vec k: tcdot0-2(t-1)=-2t+2=2-2t

Passo 6

Juntando tudo, o produto vetorial é
r(t)wed>= x(t)=2,vec i+l(t^3-t^2-tr),vec j+(2-2t),vec k

Resposta

r(t)wed>= x(t)=2,vec i+(t^3-t^2-t),vec j+(2-2t),vec k,lang<= r(t),x(t)rang<==2t^2-t

Exercícios relacionados