Calcule o raio de convergência R da série de potências sumn=0^infty an z^n, onde an é dado nos itens abaixo. Lembre que dentro do raio de convergência, ou seja, na bola B(0, R) a função f(z)=sumn=0^infty an z^n é analítica, portanto séries de potências são uma outra ferramenta útil para construir funções analíticas.
e) an=n !

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o raio de convergência de uma série de potências do tipo , onde neste caso específico, . O raio de convergência nos diz até que ponto a série converge quando varia no plano complexo. Para resolver isso, vamos usar alguns métodos de análise de séries, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o raio de convergência. Ele é o valor de tal que a série converge absolutamente para todos os com e diverge para . Dentro desse raio, a função definida pela série é analítica, ou seja, bem comportada e diferenciável.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma ferramenta comum para determinar o raio de convergência. Esse teste diz que se o limite
L = limn to infty | an+1 z^n+1an z^n |
existe, então a série converge se e diverge se . Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que , que será o raio .

Passo 4

Vamos calcular esse limite passo a passo. Sabendo que L = limn to infty | (n+1) z^n+1n z^n | = limn to infty | n+1n cdot z | = limn to infty (1 + 1n) |z| , temos:
L = |z|
Como , então:

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, a série converge quando |z| < 1 , ou seja:
E diverge quando .

Resposta

O raio de convergência da série é .

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