Calcule o raio de convergência da série de potências , onde é dado nos itens abaixo. Lembre que dentro do raio de convergência, ou seja, na bola a função é analítica, portanto séries de potências são uma outra ferramenta útil para construir funções analíticas.
b) (Esses coeficientes dão a expansão de no ramo principal).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o raio de convergência da série de potências , onde os coeficientes são dados por . O raio de convergência nos diz até onde a série converge, ou seja, para quais valores de a série soma a uma função bem definida. Para resolver este problema, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência de uma série de potências.
Passo 2
O Teste da Razão é uma técnica que utiliza o limite do quociente entre termos consecutivos da série para encontrar o raio de convergência. Matemáticamente, ele é dado por:
Então, nosso objetivo é calcular esse limite usando os coeficientes .
Passo 3
Vamos calcular o quociente an = binomalphan = alpha (alpha - 1) (alpha - 2) cdots (alpha - n + 1)n! . Sabemos que:
an+1an = binomalphan+1binomalphan = alpha - nn + 1
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando limn to infty | alpha - nn + 1 | = limn to infty | -n + alphan + 1 | = limn to infty | -1 + alphan1 + 1n | = 1 tende ao infinito:
Isso porque, quando é muito grande, os termos e tendem a zero, e o quociente se aproxima de , cujo valor absoluto é 1.
Passo 5
Com o limite calculado, aplicamos o Teste da Razão:
1R = 1 implies R = 1
Isso significa que o raio de convergência da série é 1.
Resposta
O raio de convergência da série de potências é igual a 1.