Calcule o raio de convergência R da série de potências sumn=0^infty an z^n, onde an é dado nos itens abaixo. Lembre que dentro do raio de convergência, ou seja, na bola B(0, R) a função f(z)=sumn=0^infty an z^n é analítica, portanto séries de potências são uma outra ferramenta útil para construir funções analíticas.
a) an=(-1)^n-1n (Esses coeficientes dão a expansão de log (1+z) no ramo principal);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A pergunta quer que a gente calcule o raio de convergência da série de potências , onde . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, que ajudam a entender onde a série converge e, portanto, onde a função associada é analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto (em valor absoluto) a série de potências converge. Ou seja, para que , a série converge, e para , ela diverge.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Critério da Razão, que é uma das ferramentas mais comuns para esse tipo de problema. O critério da razão diz que:
R = 1limsupn to infty | an+1an |
Onde representa o limite superior.

Passo 4

Vamos calcular | an+1an | = | (-1)^(n+1)-1n+1(-1)^n-1n | = | (-1)^nn+1 cdot n(-1)^n-1 | = | -nn+1 | = nn+1 :
Note que os sinais negativos e os termos se anulam no valor absoluto.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty nn+1 = limn to infty 11 + 1n = 1 tende ao infinito:

Passo 6

Aplicando o valor encontrado no Critério da Razão:
R = 11 = 1

Resposta

O raio de convergência da série de potências dada é igual a 1.

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