Calcule o raio de convergência da série de potências , onde é dado nos itens abaixo. Lembre que dentro do raio de convergência, ou seja, na bola a função é analítica, portanto séries de potências são uma outra ferramenta útil para construir funções analíticas.
a) (Esses coeficientes dão a expansão de no ramo principal);
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A pergunta quer que a gente calcule o raio de convergência da série de potências , onde . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, que ajudam a entender onde a série converge e, portanto, onde a função associada é analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto (em valor absoluto) a série de potências converge. Ou seja, para que , a série converge, e para , ela diverge.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Critério da Razão, que é uma das ferramentas mais comuns para esse tipo de problema. O critério da razão diz que: