Encontre o raio de convergência:
a) Da série hipergeométrica:
F(alpha, beta, gamma ; z)=1+sumn=1^infty alpha(alpha+1) cdots(alpha+n-1) beta(beta+1) cdots(beta+n-1)n!gamma(gamma+1) cdots(gamma+n-1) z^n
Aqui alpha, beta in C e gamma=0,-1,-2, cdots.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o raio de convergência de uma série hipergeométrica. A matéria envolvida aqui é sobre séries de potências e convergência delas. Para resolver, vamos precisar usar o teste da razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. Ele indica o valor máximo de para o qual a série converge. Para encontrar esse raio, vamos aplicar o teste da razão na série dada.

Passo 3

A série hipergeométrica dada é:
F(alpha, beta, gamma ; z) = 1 + sumn=1^infty alpha(alpha+1) cdots (alpha+n-1) beta(beta+1) cdots (beta+n-1)n! gamma(gamma+1) cdots (gamma+n-1) z^n
Vamos chamar o termo geral da série de an = alpha(alpha+1) cdots (alpha+n-1) beta(beta+1) cdots (beta+n-1)n! gamma(gamma+1) cdots (gamma+n-1) z^n :

Passo 4

Agora, aplicamos o teste da razão, que diz que o raio de convergência 1R = limn to infty | an+1an | pode ser encontrado por:
Vamos calcular essa razão.

Passo 5

Calculando an+1an = alpha+n cdot beta+n(n+1) cdot (gamma+n) cdot z :
Quando vai para infinito, os termos , , e são aproximadamente iguais a .

Passo 6

Simplificando a expressão para an+1an approx n cdot n(n+1) cdot n cdot z = n^2n^2 + n cdot z approx 11 cdot z = z grande:

Passo 7

Agora, aplicamos o limite:
limn to infty | an+1an | = |z|
De acordo com o teste da razão, para a série convergir, precisamos que .

Resposta

O raio de convergência da série hipergeométrica é .

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