Mostre que, uma vez fixado o argumento da constante c != 0, a função f(z) = c^z é analítica, com derivada f'(z) = c^z log(c).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra mostrar que, quando fixamos o argumento da constante , a função é analítica e sua derivada é . Isso está relacionado com a matéria de Análise Complexa, especificamente com funções analíticas e derivadas no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a derivada de funções exponenciais complexas e aplicar a definição de função analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Sabemos que podemos expressar exponenciais complexas usando a função exponencial de Euler. Então, temos:
Aqui, representa o logaritmo complexo de . Como o argumento de está fixo, é uma constante bem definida.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra da derivada para funções compostas. A derivada da função exponencial , onde é uma função de , é dada por:
No nosso caso, . Vamos derivar :

Passo 4

Aplicando a regra da derivada que mencionamos, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que a função é analítica e sua derivada é .

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