Mostre que, uma vez fixado o argumento da constante
, a função
é analítica, com derivada
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra mostrar que, quando fixamos o argumento da constante
, a função
é analítica e sua derivada é
. Isso está relacionado com a matéria de Análise Complexa, especificamente com funções analíticas e derivadas no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a derivada de funções exponenciais complexas e aplicar a definição de função analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a derivação. Sabemos que podemos expressar exponenciais complexas usando a função exponencial de Euler. Então, temos:
Aqui,
representa o logaritmo complexo de
. Como o argumento de
está fixo,
é uma constante bem definida.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da regra da derivada para funções compostas. A derivada da função exponencial
, onde
é uma função de
, é dada por:
No nosso caso,
. Vamos derivar
:
Passo 4
Aplicando a regra da derivada que mencionamos, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que a função
é analítica e sua derivada é
.