Prove as seguintes propriedades da exponencial complexa:
b)
para todo
e
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar duas coisas sobre a exponencial complexa: primeiro, que
nunca é igual a zero para qualquer número complexo
, e segundo, que
é igual a
dividido por
. Vamos usar algumas propriedades básicas da matemática complexa para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária. A exponencial de um número complexo é definida por:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar que
pode ser escrito usando a fórmula de Euler:
Então, substituindo de volta, temos:
Passo 4
Olha só,
é sempre positivo porque a função exponencial de um número real nunca é zero. Além disso,
é um número complexo que está no círculo unitário, ou seja, tem módulo 1. Assim, o produto de
com esse número complexo nunca será zero, porque estamos multiplicando algo positivo por algo que não é zero.
Passo 5
Então, concluímos que
para todo
, pois a exponencial complexa nunca se anula.
Passo 6
Agora, vamos provar que
. Vamos começar escrevendo
:
Então, aplicando a definição da exponencial complexa:
Passo 7
Usando novamente a fórmula de Euler para
:
Portanto:
Passo 8
Agora, vamos considerar
. Sabemos que:
Então, o inverso disso é:
Porque o inverso de
é
.
Passo 9
Comparando as duas expressões que encontramos:
Vemos que elas são iguais.
Resposta
Portanto, provamos que
para todo
e que
.