Prove as seguintes propriedades da exponencial complexa:
b) e^z != 0 para todo z em C e e^(-z) = 1/e^(z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar duas coisas sobre a exponencial complexa: primeiro, que e^z nunca é igual a zero para qualquer número complexo z, e segundo, que é igual a 1 dividido por e^z. Vamos usar algumas propriedades básicas da matemática complexa para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo z pode ser escrito como , onde a e b são números reais, e i é a unidade imaginária. A exponencial de um número complexo é definida por:

Passo 3

Agora, precisamos lembrar que pode ser escrito usando a fórmula de Euler:
Então, substituindo de volta, temos:

Passo 4

Olha só, e^a é sempre positivo porque a função exponencial de um número real nunca é zero. Além disso, é um número complexo que está no círculo unitário, ou seja, tem módulo 1. Assim, o produto de e^a com esse número complexo nunca será zero, porque estamos multiplicando algo positivo por algo que não é zero.

Passo 5

Então, concluímos que e^z != 0 para todo z em C, pois a exponencial complexa nunca se anula.

Passo 6

Agora, vamos provar que . Vamos começar escrevendo -z:
Então, aplicando a definição da exponencial complexa:

Passo 7

Usando novamente a fórmula de Euler para :
Portanto:

Passo 8

Agora, vamos considerar . Sabemos que:
Então, o inverso disso é:
Porque o inverso de é .

Passo 9

Comparando as duas expressões que encontramos:
Vemos que elas são iguais.

Resposta

Portanto, provamos que e^z != 0 para todo z em C e que .

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