Prove as seguintes propriedades da exponencial complexa:
c) e^(z barra) = e^z barra e portanto |e^z|^2 = e^(2 Re z). ( Re denota a parte real de z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar duas propriedades da exponencial complexa. Primeiro, que , e depois que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos, como conjugado e parte real, além das propriedades da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o conjugado de um número complexo. Se , onde é a parte real e é a parte imaginária, então o conjugado de é .

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Sabemos que para um número complexo , a exponencial pode ser escrita como:
Então, o conjugado de seria:

Passo 4

Vamos também calcular . Sabendo que , temos:
E como e , isso fica:

Passo 5

Comparando e , vemos que:
Portanto, mostramos que .

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte: provar que . Primeiro, lembramos que o módulo de um número complexo é dado por .

Passo 7

Aplicando isso para :
E já mostramos que , então:

Passo 8

Sabemos que , já que e , então:
Elevando ao quadrado ambos os lados para obter :

Resposta

Assim, provamos que e que .

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