Prove as seguintes propriedades da exponencial complexa:
c) e portanto |e^z|^2 = e^(2 Re z). ( Re denota a parte real de z.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar duas propriedades da exponencial complexa. Primeiro, que , e depois que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos, como conjugado e parte real, além das propriedades da função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o conjugado de um número complexo. Se , onde é a parte real e é a parte imaginária, então o conjugado de é .
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão . Sabemos que para um número complexo , a exponencial pode ser escrita como:
Então, o conjugado de seria:
Passo 4
Vamos também calcular . Sabendo que , temos:
E como e , isso fica:
Passo 5
Comparando e , vemos que:
Portanto, mostramos que .
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte: provar que . Primeiro, lembramos que o módulo de um número complexo é dado por .