Determine os intervalos onde cada função composta f(g) seja contínua.
j) f(x) = raiz3(x) e g(x) = raiz(x + 3);

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos onde a função composta é contínua. Aqui, estamos trabalhando com funções e continuidade, assuntos que fazem parte do estudo de funções na matemática. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como compor duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função composta. A função composta significa que a gente aplica a função primeiro e depois aplica a função no resultado de . Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos olhar para as funções dadas:
  • (raiz cúbica de x)
  • (raiz quadrada de x + 3)
Para compor essas funções, precisamos primeiro aplicar e depois no resultado.

Passo 4

Antes de compor as funções, é importante verificar os domínios de cada uma para garantir que tudo está bem definido. O domínio de uma função é o conjunto de valores de para os quais a função está definida.
  • Domínio de :
    A raiz quadrada só está definida para números maiores ou iguais a zero. Então, temos:
    Portanto, o domínio de é .
  • Domínio de :
    A raiz cúbica está definida para todos os números reais, então o domínio de é todo .

Passo 5

Agora, vamos compor as funções:

Passo 6

Para que a função composta seja contínua, tanto quanto precisam ser contínuas nos seus respectivos domínios, e o valor de deve estar dentro do domínio de .
Como vimos:
  • é contínua para .
  • é contínua para todo .
Então, a continuidade de depende apenas do domínio de , que é .

Resposta

A função composta é contínua para todos os valores de tais que .

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