Determine os intervalos onde cada função composta
seja contínua.
j)
e
;
j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos onde a função composta
é contínua. Aqui, estamos trabalhando com funções e continuidade, assuntos que fazem parte do estudo de funções na matemática. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como compor duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função composta. A função composta
significa que a gente aplica a função
primeiro e depois aplica a função
no resultado de
. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as funções dadas:
-
(raiz cúbica de x) -
(raiz quadrada de x + 3)
Para compor essas funções, precisamos primeiro aplicar
e depois
no resultado.
Passo 4
Antes de compor as funções, é importante verificar os domínios de cada uma para garantir que tudo está bem definido. O domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida.
-
Domínio de
:
A raiz quadrada só está definida para números maiores ou iguais a zero. Então, temos:Portanto, o domínio deé . -
Domínio de
:
A raiz cúbica está definida para todos os números reais, então o domínio deé todo .
Passo 5
Agora, vamos compor as funções:
Passo 6
Para que a função composta
seja contínua, tanto
quanto
precisam ser contínuas nos seus respectivos domínios, e o valor de
deve estar dentro do domínio de
.
Como vimos:
-
é contínua para . -
é contínua para todo .
Então, a continuidade de
depende apenas do domínio de
, que é
.
Resposta
A função composta
é contínua para todos os valores de
tais que
.