Resolva os PVIs abaixo, usando o método que preferir.
2 y^(4)-y^prime prime prime-9 y^prime prime+4 y^prime+4 y=0, y(0)=-2, y^prime(0)=-1, y^prime prime(0)=-2, y^prime prime prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de quarta ordem com condições iniciais. O enunciado é:
2 y^(4) - y''' - 9 y'' + 4 y' + 4 y = 0,
com as condições:
y(0) = -2, y'(0) = -1, y''(0) = -2, y'''(0) = 0
Vamos resolver essa equação usando métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para isso, precisamos encontrar as raízes características da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica. Para uma equação diferencial linear de ordem 4 como essa, a característica é obtida substituindo y^(n) por r^n. Então, temos:
2 r^4 - r^3 - 9 r^2 + 4 r + 4 = 0
Nossa missão agora é encontrar as raízes dessa equação polinomial de quarta grau.

Passo 3

Vamos tentar fatorar esse polinômio. Começamos procurando raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são os divisores de 4 divididos pelos divisores de 2, ou seja, pm1, pm2, pm4, pm12.
Vamos testar r = 1:
2(1)^4 - (1)^3 - 9(1)^2 + 4(1) + 4 = 2 - 1 - 9 + 4 + 4 = 0
Bingo! r = 1 é uma raiz. Então, (r - 1) é um fator do polinômio.

Passo 4

Agora, vamos dividir o polinômio original por (r - 1) para encontrar o polinômio reduzido. Usando divisão polinomial ou sintetizando, obtemos:
2 r^4 - r^3 - 9 r^2 + 4 r + 4 = (r - 1)(2 r^3 + r^2 - 8 r - 4)
Agora, precisamos fatorar o polinômio cúbico 2 r^3 + r^2 - 8 r - 4.

Passo 5

Vamos novamente aplicar o Teorema das Raízes Racionais para o polinômio cúbico 2 r^3 + r^2 - 8 r - 4. Os possíveis candidatos continuam sendo pm1, pm2, pm4, pm12.
Teste r = -1:
2(-1)^3 + (-1)^2 - 8(-1) - 4 = -2 + 1 + 8 - 4 = 3 neq 0
Teste r = 2:
2(2)^3 + (2)^2 - 8(2) - 4 = 16 + 4 - 16 - 4 = 0
Legal, r = 2 é uma raiz. Então, (r - 2) é um fator.

Passo 6

Vamos dividir o polinômio cúbico por (r - 2):
2 r^3 + r^2 - 8 r - 4 = (r - 2)(2 r^2 + 5 r + 2)
Agora, precisamos fatorar o polinômio quadrático 2 r^2 + 5 r + 2. Vamos usar o método do produto-soma.

Passo 7

Para fatorar 2 r^2 + 5 r + 2, procuramos dois números que multiplicam 2 times 2 = 4 e somam 5. Esses números são 4 e 1.
Então, reescrevemos o polinômio:
2 r^2 + 4 r + r + 2 = (2 r^2 + 4 r) + (r + 2) = 2 r(r + 2) + 1(r + 2) = (2 r + 1)(r + 2)
Portanto, a fatoração completa do polinômio original é:
2 r^4 - r''' - 9 r'' + 4 r' + 4 y = (r - 1)(r - 2)(2 r + 1)(r + 2)

Passo 8

Agora que temos as raízes da equação característica:
r = 1, r = 2, r = -12, r = -2
Essas raízes são todas reais e distintas. Então, a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das soluções exponenciais correspondentes:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t + C3 e^r3 t + C4 e^r4 t
Substituindo os valores de r:
y(t) = C1 e^t + C2 e^2 t + C3 e^- 12 t + C4 e^-2 t

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes C1, C2, C3, C4.
Primeiro, calculamos as derivadas de y(t):
y'(t) = C1 e^t + 2 C2 e^2 t - 12 C3 e^- 12 t - 2 C4 e^-2 t,
y''(t) = C1 e^t + 4 C2 e^2 t + 14 C3 e^- 12 t + 4 C4 e^-2 t,
y'''(t) = C1 e^t + 8 C2 e^2 t - 18 C3 e^- 12 t - 8 C4 e^-2 t,
y^(4)(t) = C1 e^t + 16 C2 e^2 t + 116 C3 e^- 12 t + 16 C4 e^-2 t

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais no t = 0:
  1. y(0) = -2:
C1 + C2 + C3 + C4 = -2
  1. y'(0) = -1:
C1 + 2 C2 - 12 C3 - 2 C4 = -1
  1. y''(0) = -2:
C1 + 4 C2 + 14 C3 + 4 C4 = -2
  1. y'''(0) = 0:
C1 + 8 C2 - 18 C3 - 8 C4 = 0

Passo 11

Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
C1 + C2 + C3 + C4 = -2, C1 + 2 C2 - 12 C3 - 2 C4 = -1, C1 + 4 C2 + 14 C3 + 4 C4 = -2, C1 + 8 C2 - 18 C3 - 8 C4 = 0
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Para simplificar, podemos multiplicar as equações para eliminar as frações.

Passo 12

Multiplicamos a segunda equação por 2 e a quarta por 8 para eliminar os denominadores:
  1. C1 + C2 + C3 + C4 = -2,
  2. 2 C1 + 4 C2 - C3 - 4 C4 = -2,
  3. C1 + 4 C2 + 14 C3 + 4 C4 = -2,
  4. 8 C1 + 64 C2 - C3 - 64 C4 = 0

Passo 13

Agora, vamos usar a técnica de eliminação. Subtraímos a equação 1 da equação 2:
(2 C1 + 4 C2 - C3 - 4 C4) - (C1 + C2 + C3 + C4) = -2 - (-2),
o que resulta em:
C1 + 3 C2 - 2 C3 - 5 C4 = 0
Fazemos o mesmo com a equação 3 menos a equação 1:
(C1 + 4 C2 + 14 C3 + 4 C4) - (C1 + C2 + C3 + C4) = -2 - (-2),
resultando em:
3 C2 - 34 C3 + 3 C4 = 0
E a equação 4 menos a equação 1 multiplicada por 8:
(8 C1 + 64 C2 - C3 - 64 C4) - 8(C1 + C2 + C3 + C4) = 0 - (-16),
que simplifica para:
56 C2 - 9 C3 - 72 C4 = 16

Passo 14

Agora, temos um sistema menor:
C1 + 3 C2 - 2 C3 - 5 C4 = 0, 3 C2 - 34 C3 + 3 C4 = 0, 56 C2 - 9 C3 - 72 C4 = 16
Vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis. Por exemplo, podemos resolver para C3:
3 C2 - 34 C3 + 3 C4 = 0 Rightarrow 34 C3 = 3 C2 + 3 C4 Rightarrow C3 = 4 C2 + 4 C4

Passo 15

Substituímos C3 = 4 C2 + 4 C4 na primeira e terceira equações:
  1. C1 + 3 C2 - 2 (4 C2 + 4 C4) - 5 C4 = 0,
que se simplifica para:
C1 + 3 C2 - 8 C2 - 8 C4 - 5 C4 = C1 - 5 C2 - 13 C4 = 0,
ou seja,
C1 = 5 C2 + 13 C4
  1. 56 C2 - 9 (4 C2 + 4 C4) - 72 C4 = 16,
que se simplifica para:
56 C2 - 36 C2 - 36 C4 - 72 C4 = 20 C2 - 108 C4 = 16
Podemos dividir por 4:
5 C2 - 27 C4 = 4

Passo 16

Agora, temos:
C1 = 5 C2 + 13 C4, 5 C2 - 27 C4 = 4
Vamos resolver a segunda equação para C2:
5 C2 = 4 + 27 C4 Rightarrow C2 = 4 + 27 C45

Passo 17

Substituindo C2 na expressão de C1:
C1 = 5 ( 4 + 27 C45 ) + 13 C4 = 4 + 27 C4 + 13 C4 = 4 + 40 C4
Agora, temos C1 e C2 em termos de C4. Precisamos determinar C4 usando a terceira equação do sistema menor.

Passo 18

Voltando à equação C3 = 4 C2 + 4 C4 e substituindo C2:
C3 = 4 ( 4 + 27 C45 ) + 4 C4 = 16 + 108 C45 + 4 C4 = 16 + 108 C4 + 20 C45 = 16 + 128 C45
Agora, usamos a condição inicial original para resolver C4:
Recall que:
C1 + C2 + C3 + C4 = -2
Substituindo todas as expressões em termos de C4:
[4 + 40 C4] + ( 4 + 27 C45 ) + ( 16 + 128 C45 ) + C4 = -2
Multiplicamos tudo por 5 para eliminar os denominadores:
5(4 + 40 C4) + (4 + 27 C4) + (16 + 128 C4) + 5 C4 = 5(-2),
o que dá:
20 + 200 C4 + 4 + 27 C4 + 16 + 128 C4 + 5 C4 = -10
Somando termos semelhantes:
40 + 360 C4 = -10

Passo 19

Resolvendo a equação 40 + 360 C4 = -10:
360 C4 = -10 - 40 = -50 Rightarrow C4 = -50360 = -536
Agora, encontramos C4. Vamos encontrar as demais constantes usando as expressões anteriores.

Passo 20

Calculando C2:
C2 = 4 + 27 C45 = 4 + 27 (-536)5 = 4 - 135365 = 4 - 1545 = 164 - 1545 = 145 = 120
Calculando C1:
C1 = 4 + 40 C4 = 4 + 40 (-536) = 4 - 20036 = 4 - 509 = 369 - 509 = -149
Calculando C3:
C3 = 16 + 128 C45 = 16 + 128 (-536)5 = 16 - 640365 = 16 - 16095 = 1449 - 16095 = -1695 = -1645

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
y(t) = -149 e^t + 120 e^2 t - 1645 e^- 12 t - 536 e^-2 t

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