Resolva os PVIs abaixo, usando o método que preferir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de quarta ordem com condições iniciais. O enunciado é:
com as condições:
Vamos resolver essa equação usando métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para isso, precisamos encontrar as raízes características da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica. Para uma equação diferencial linear de ordem 4 como essa, a característica é obtida substituindo por . Então, temos:
Nossa missão agora é encontrar as raízes dessa equação polinomial de quarta grau.
Passo 3
Vamos tentar fatorar esse polinômio. Começamos procurando raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são os divisores de 4 divididos pelos divisores de 2, ou seja, , , , .
Vamos testar :
Bingo! é uma raiz. Então, é um fator do polinômio.
Passo 4
Agora, vamos dividir o polinômio original por para encontrar o polinômio reduzido. Usando divisão polinomial ou sintetizando, obtemos:
Agora, precisamos fatorar o polinômio cúbico .
Passo 5
Vamos novamente aplicar o Teorema das Raízes Racionais para o polinômio cúbico . Os possíveis candidatos continuam sendo , , , .
Teste :
Teste :
Legal, é uma raiz. Então, é um fator.
Passo 6
Vamos dividir o polinômio cúbico por :
Agora, precisamos fatorar o polinômio quadrático . Vamos usar o método do produto-soma.
Passo 7
Para fatorar , procuramos dois números que multiplicam e somam 5. Esses números são 4 e 1.
Então, reescrevemos o polinômio:
Portanto, a fatoração completa do polinômio original é:
Passo 8
Agora que temos as raízes da equação característica:
Essas raízes são todas reais e distintas. Então, a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das soluções exponenciais correspondentes:
Substituindo os valores de :
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes .
Primeiro, calculamos as derivadas de :
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais no :
:
:
:
:
Passo 11
Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Para simplificar, podemos multiplicar as equações para eliminar as frações.
Passo 12
Multiplicamos a segunda equação por 2 e a quarta por 8 para eliminar os denominadores:
C1 + C2 + C3 + C4 = -2,
2 C1 + 4 C2 - C3 - 4 C4 = -2,
C1 + 4 C2 + 14 C3 + 4 C4 = -2,
8 C1 + 64 C2 - C3 - 64 C4 = 0
Passo 13
Agora, vamos usar a técnica de eliminação. Subtraímos a equação 1 da equação 2: