Calcule todas as determinações das seguintes potências
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular todas as determinações das potências
e
. Isso envolve conceitos de números complexos e exponenciação complexa. Para resolver, vamos precisar entender como elevar números complexos a potências complexas, o que envolve usar a forma polar dos números e a função logaritmo complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com
. Para simplificar, vamos expressar o número complexo
na forma polar. Isso significa encontrar seu módulo (distância até a origem) e argumento (ângulo com o eixo real).
Passo 3
O módulo de
é calculado usando a fórmula
, onde
. Então,
Passo 4
O argumento de
é o ângulo
tal que
. Aqui,
Usamos
porque o argumento pode ter múltiplas soluções devido à periodicidade.
Passo 5
Agora, podemos escrever
na forma polar:
Passo 6
Para elevar
à potência
, usamos a propriedade
. Então,
Passo 7
Simplificando a expressão no expoente:
Passo 8
Portanto, temos:
Isso mostra todas as determinações, já que
pode ser qualquer número inteiro.
Passo 9
Agora, vamos calcular
seguindo os mesmos passos. Primeiro, encontramos o módulo e o argumento de
.
Passo 10
O módulo é:
Passo 11
O argumento é:
Passo 12
Expressando na forma polar:
Passo 13
Elevando à potência
:
Passo 14
Simplificando o expoente:
Passo 15
Então, temos:
Essas são todas as determinações possíveis, variando
em todos os inteiros.
Resposta
As determinações das potências são:
e