Calcule todas as determinações das seguintes potências (1 - i)^i, (raiz(3) + i)^i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular todas as determinações das potências e . Isso envolve conceitos de números complexos e exponenciação complexa. Para resolver, vamos precisar entender como elevar números complexos a potências complexas, o que envolve usar a forma polar dos números e a função logaritmo complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com . Para simplificar, vamos expressar o número complexo 1-i na forma polar. Isso significa encontrar seu módulo (distância até a origem) e argumento (ângulo com o eixo real).

Passo 3

O módulo de 1-i é calculado usando a fórmula , onde . Então,

Passo 4

O argumento de 1-i é o ângulo theta tal que . Aqui,
Usamos porque o argumento pode ter múltiplas soluções devido à periodicidade.

Passo 5

Agora, podemos escrever 1-i na forma polar:

Passo 6

Para elevar 1-i à potência i, usamos a propriedade . Então,

Passo 7

Simplificando a expressão no expoente:

Passo 8

Portanto, temos:
Isso mostra todas as determinações, já que k pode ser qualquer número inteiro.

Passo 9

Agora, vamos calcular seguindo os mesmos passos. Primeiro, encontramos o módulo e o argumento de .

Passo 10

O módulo é:

Passo 11

O argumento é:

Passo 12

Expressando na forma polar:

Passo 13

Elevando à potência i:

Passo 14

Simplificando o expoente:

Passo 15

Então, temos:
Essas são todas as determinações possíveis, variando k em todos os inteiros.

Resposta

As determinações das potências são:
e

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