Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e pede.
- A série de potências centrada em
é
- O que se pede:
- Determinar o raio de convergência
. - Determinar o intervalo de convergência (i.e., para que
a série converge), incluindo a análise dos dois extremos do intervalo.
- Determinar o raio de convergência
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta padrão para o raio: para uma série de potências
o raio de convergência
pode ser encontrado pela fórmula de Cauchy–Hadamard:
Aqui os coeficientes são
Vou aplicar essa fórmula.
Passo 3
Calcular
. Temos
Agora preciso do limite de
quando
. Uma maneira rápida é tomar logaritmo:
Como
cresce mais devagar que
, temos
portanto
e assim
Passo 4
Com isso:
Logo, pelo Cauchy–Hadamard,
Isto significa que a série converge pelo menos para
, isto é no intervalo aberto
Agora falta analisar os pontos
(extremo esquerdo) e
(extremo direito).
Passo 5
Testando
. Substituindo
na série:
Portanto a série torna-se
Esta é uma série alternada com termos em valor absoluto
que são monótonos decrescentes para
e tendem a
. Pelo teste de Leibniz (teste das séries alternadas), essa série converge. No entanto, a série de termos absolutos é
que é a série harmónica e diverge. Assim a convergência em
é condicional (converge, mas não absolutamente).
Passo 6
Testando
. Substituindo
na série:
Então a série passa a ser
que é a série harmônica clássica e diverge. Portanto em
a série diverge.
Passo 7
Juntando tudo:
- raio de convergência
; - a série converge para todo
com , ou seja em ; - no extremo
há convergência condicional (incluir o ponto); - no extremo
há divergência (excluir o ponto).
Portanto o intervalo de convergência é
.