Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{3^{n} n}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e pede.
  • A série de potências centrada em 2 é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{3^{n} n}.
  • O que se pede:
    1. Determinar o raio de convergência R.
    2. Determinar o intervalo de convergência (i.e., para que x a série converge), incluindo a análise dos dois extremos do intervalo.

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta padrão para o raio: para uma série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} a_n (x-2)^n
o raio de convergência R pode ser encontrado pela fórmula de Cauchy–Hadamard:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui os coeficientes são
a_n=\frac{1}{3^{n} n}.
Vou aplicar essa fórmula.

Passo 3

Calcular \sqrt[n]{|a_n|}. Temos
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{1}{3^{n} n}}=\frac{1}{3}\,n^{-1/n}.
Agora preciso do limite de n^{-1/n} quando n\to\infty. Uma maneira rápida é tomar logaritmo:
\ln\!\big(n^{-1/n}\big)=-\frac{1}{n}\ln n.
Como \ln n cresce mais devagar que n, temos
\lim_{n\to\infty}-\frac{1}{n}\ln n=0,
portanto \lim_{n\to\infty}\ln\!\big(n^{-1/n}\big)=0 e assim
\lim_{n\to\infty} n^{-1/n}=1.

Passo 4

Com isso:
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}.
Logo, pelo Cauchy–Hadamard,
R=\frac{1}{\tfrac{1}{3}}=3.
Isto significa que a série converge pelo menos para |x-2|<3, isto é no intervalo aberto
(2-3,\;2+3)=(-1,\,5).
Agora falta analisar os pontos x=-1 (extremo esquerdo) e x=5 (extremo direito).

Passo 5

Testando x=-1. Substituindo x=-1 na série:
\frac{(-1-2)^n}{3^n n}=\frac{(-3)^n}{3^n n}=\frac{(-1)^n}{n}.
Portanto a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}.
Esta é uma série alternada com termos em valor absoluto \frac{1}{n} que são monótonos decrescentes para n\ge1 e tendem a 0. Pelo teste de Leibniz (teste das séries alternadas), essa série converge. No entanto, a série de termos absolutos é
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmónica e diverge. Assim a convergência em x=-1 é condicional (converge, mas não absolutamente).

Passo 6

Testando x=5. Substituindo x=5 na série:
\frac{(5-2)^n}{3^n n}=\frac{3^n}{3^n n}=\frac{1}{n}.
Então a série passa a ser
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica clássica e diverge. Portanto em x=5 a série diverge.

Passo 7

Juntando tudo:
  • raio de convergência R=3;
  • a série converge para todo x com |x-2|<3, ou seja em (-1,5);
  • no extremo x=-1 há convergência condicional (incluir o ponto);
  • no extremo x=5 há divergência (excluir o ponto).
Portanto o intervalo de convergência é [-1,\,5).

Resposta

R=3
[-1,\,5)

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