Calcule os raios e os intervalos de convergência das séries de potências:
sumn=0^infty (-1)^n2^n+1 x^n+3

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty (-1)^n2^n+1,x^n+3
Este é um problema de convergência de séries de potências; vamos usar a forma de série geométrica e depois analisar as extremidades.

Passo 2

Reescrevemos a série factorizando x^3 e 1/2, para identificar a série geométrica:
sumn=0^infty (-1)^n2^n+1,x^n+3 = x^32,sumn=0^inftyl(-tfracx2r)^n

Passo 3

Sabemos que a série geométrica sumn=0^inftyr^n converge se, e somente se, lvert rrvert<1. Aqui temos
r = -x2,
logo a condição de convergência é
llvert -tfracx2rrvert < 1 Long<=ftrightarrow lvert xrvert < 2

Passo 4

Da condição lvert xrvert<2 segue que o raio de convergência é
R = 2

Passo 5

Faltam agora os testes em x=2 e x=-2:
Em x=2:
sumn=0^infty (-1)^n2^n+1,2^n+3 = sumn=0^infty4,(-1)^n,
cujo termo geral não vai a zero, logo diverge.
Em x=-2:
sumn=0^infty (-1)^n2^n+1,(-2)^n+3 = sumn=0^infty(-4),
também com termo geral não nulo, logo diverge.
Portanto o intervalo de convergência é aberto.

Resposta

O raio de convergência é R=2 e o intervalo de convergência é (-2,2).

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