Calcule os raios e os intervalos de convergência das séries de potências:
Passo 1
O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências
Este é um problema de convergência de séries de potências; vamos usar a forma de série geométrica e depois analisar as extremidades.
Passo 2
Reescrevemos a série factorizando
e
, para identificar a série geométrica:
Passo 3
Sabemos que a série geométrica
converge se, e somente se,
. Aqui temos
logo a condição de convergência é
Passo 4
Da condição
lvert xrvert<2 segue que o raio de convergência é
Passo 5
Faltam agora os testes em
x=2 e
x=-2 :
Em
x=2 :
cujo termo geral não vai a zero, logo diverge.
Em
x=-2 :
também com termo geral não nulo, logo diverge.
Portanto o intervalo de convergência é aberto.
Resposta
O raio de convergência é
R=2 e o intervalo de convergência é
(-2,2) .