Encontre uma série de potências para as funções abaixo, e indique o raio e o intervalo de convergência destas:
f(x)=x4+x^4

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de
f(x)=x4+x^4,
o que envolve escrever f(x) como soma de termos da forma anx^n. Usaremos a soma da série geométrica
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n,para |u|<1,
e em seguida determinaremos o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Reescrevemos f(x) isolando a parte que cabe na forma geométrica. Observando que
4+x^4=4l(1+x^44r),
temos
f(x) =x4+x^4 =x4,11+x^44

Passo 3

Aplicando a série geométrica com u=tfracx^44, obtemos
11+x^44 =sumn=0^infty(-1)^nl(x^44r)^n
Multiplicando por tfracx4, chega-se à série de potências
f(x) =x4sumn=0^infty(-1)^nx^4n4^n =sumn=0^infty(-1)^nx^4n+14^n+1

Passo 4

Para a convergência da série geométrica precisamos de
l|x^44r|<1 Long<=ftrightarrow |x|^4<4 Long<=ftrightarrow |x|<4^1/4=2^1/2
Logo, o raio de convergência é
R=2^1/2

Passo 5

O intervalo de convergência é
-2^1/2<x<2^1/2
Nos extremos x=pm2^1/2 temos |x^4/4|=1, e a série não tende a zero, logo diverge.

Resposta

A série de potências é
boxedf(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^4n+14^n+1,
com raio de convergência
boxedR=2^1/2
e intervalo de convergência
boxed-2^1/2<x<2^1/2

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