Encontre uma série de potências para as funções abaixo, e indique o raio e o intervalo de convergência destas:
Passo 1
O enunciado pede a série de potências de
o que envolve escrever
como soma de termos da forma
. Usaremos a soma da série geométrica
e em seguida determinaremos o raio e o intervalo de convergência.
Passo 2
Reescrevemos
isolando a parte que cabe na forma geométrica. Observando que
temos
Passo 3
Aplicando a série geométrica com
, obtemos
Multiplicando por
, chega-se à série de potências
Passo 4
Para a convergência da série geométrica precisamos de
Logo, o raio de convergência é
Passo 5
O intervalo de convergência é
Nos extremos
x=pm2^1/2 temos
|x^4/4|=1 , e a série não tende a zero, logo diverge.
Resposta
A série de potências é
com raio de convergência
e intervalo de convergência