Encontre uma série de potências para as funções abaixo, e indique o raio e o intervalo de convergência destas:
Passo 1
O enunciado pede uma série de potências centrada em zero para
além do raio e do intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é a expansão em série geométrica da forma
Passo 2
Reescrevemos
de modo a isolar um termo
. Note que
logo
Passo 3
Identifiquemos
. Para
, vale
Substituindo
em
, obtemos
Passo 4
Distribuindo o fator
dentro da soma, resulta
Passo 5
Para garantir convergência da série geométrica usamos a condição
Portanto, o raio de convergência é
Passo 6
O intervalo de convergência é
Nos extremos
x=pm5^1/3 os termos gerais
x^3n+25^n+1 não tendem a zero, logo não há convergência nos extremos.
Resposta
A série de potências centrada em zero é
com raio de convergência
R=5^1/3 e intervalo de convergência