Encontre uma série de potências para as funções abaixo, e indique o raio e o intervalo de convergência destas:
f(x)=x^25-x^3

Passo 1

O enunciado pede uma série de potências centrada em zero para
f(x)=x^25 - x^3,
além do raio e do intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é a expansão em série geométrica da forma
11 - u = sumn=0^inftyu^n, |u|<1

Passo 2

Reescrevemos f(x) de modo a isolar um termo 11-u. Note que
5 - x^3 = 5l(1 - x^35r),
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f(x)=x^25 - x^3 =x^25,11 - x^35

Passo 3

Identifiquemos u = x^35. Para |u|<1, vale
11 - u = sumn=0^inftyu^n
Substituindo u=x^35 em f(x)=x^2511-u, obtemos
f(x)=x^25sumn=0^inftyl(x^35r)^n

Passo 4

Distribuindo o fator x^25 dentro da soma, resulta
f(x) =sumn=0^inftyx^25,x^3n5^n =sumn=0^inftyx^3n+25^n+1

Passo 5

Para garantir convergência da série geométrica usamos a condição
l|tfracx^35r|<1 ;Longrightarrow; |x^3|<5 ;Longrightarrow; |x|<5^1/3
Portanto, o raio de convergência é
R = 5^1/3

Passo 6

O intervalo de convergência é
-5^1/3<x<5^1/3
Nos extremos x=pm5^1/3 os termos gerais x^3n+25^n+1 não tendem a zero, logo não há convergência nos extremos.

Resposta

A série de potências centrada em zero é
boxedf(x)=sumn=0^inftyx^3n+25^n+1,
com raio de convergência R=5^1/3 e intervalo de convergência
(-5^1/3,,5^1/3)

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