Use o método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10^{-3} para os seguintes problemas:
\ln (x-1)+\cos (x-1)=0 para 1,3 \leq x \leq 2

Passo 1

O enunciado pede a raiz de
f(x)=\ln(x-1)+\cos(x-1)
no intervalo 1{,}3\le x\le2, com precisão 10^{-3}, usando o método de Newton.
Nesse método usamos a iteração
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
sendo
f'(x)=\frac{1}{x-1}-\sin(x-1).

Passo 2

Para garantir que existe raiz nesse intervalo, avaliamos os sinais: f(1{,}3)=\ln(0{,}3)+\cos(0{,}3)\approx-1{,}2046+0{,}9553=-0{,}2493<0 f(2)=\ln(1)+\cos(1)=0+0{,}5403=0{,}5403>0.
Como houve troca de sinal, há pelo menos uma raiz. Para iniciar o método, escolhemos x_0=1{,}4, que já dá f(1{,}4) bem pequeno.

Passo 3

Vamos às primeiras iterações (arredondando a 5 casas em cada passo, mas controlando o erro no final):
Para x_0=1{,}40000:
t_0=x_0-1=0{,}40000, \quad f(x_0)=\ln(0{,}4)+\cos(0{,}4)\approx-0{,}91629+0{,}92106=0{,}00477,
f'(x_0)=\frac{1}{0{,}4}-\sin(0{,}4)\approx2{,}50000-0{,}38942=2{,}11058,
x_1=1{,}40000-\frac{0{,}00477}{2{,}11058}\approx1{,}39774.
Para x_1=1{,}39774:
t_1=x_1-1=0{,}39774, \quad f(x_1)=\ln(0{,}39774)+\cos(0{,}39774)\approx-0{,}92211+0{,}92194=-0{,}00017,
f'(x_1)=\frac{1}{0{,}39774}-\sin(0{,}39774)\approx2{,}51462-0{,}38730=2{,}12732,
x_2=1{,}39774-\frac{-0{,}00017}{2{,}12732}\approx1{,}39782.

Passo 4

Calculamos \lvert x_2-x_1\rvert=0{,}00008<10^{-3}, logo já atingimos a precisão desejada.

Resposta

A raiz aproximada, com erro menor que 10^{-3}, é
x\approx1{,}398.

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