Calcule as raízes das equações a seguir e esboce o gráfico quando for possível.
3 x^2+27 x=0

Passo 1

O enunciado pede as raízes da equação quadrática
3x^2 + 27x = 0
e, em seguida, o esboço do gráfico dessa função quando possível. O conteúdo envolve fatoração, propriedade do produto nulo e análise de uma parábola (concavidade, vértice e interceptos).

Passo 2

Fatoramos o polinômio:
3x^2 + 27x = 3x(x + 9)
Pela propriedade do produto nulo,
3x(x+9)=0 Longrightarrow 3x = 0 ou x+9 = 0,
logo as raízes são
x = 0 e x = -9

Passo 3

A função associada é f(x)=3x^2+27x. Como o coeficiente quadrático é a=3>0, a parábola abre para cima.
O eixo de simetria tem equação
x = -b2a = -272cdot3 = -4,5
Substituindo para achar o vértice,
f(-4,5) = 3(-4,5)^2 + 27(-4,5) = 60,75 - 121,5 = -60,75

Passo 4

Para esboçar o gráfico, marcamos:
– as raízes em (-9,0) e (0,0);
– o vértice em x=-4,5, y=-60,75;
– concavidade para cima e crescimento de f(x) quando xtopminfty.

Resposta

As raízes são
x = -9 e x = 0
O gráfico é uma parábola com concavidade para cima, interceptos em (-9,0) e (0,0), e vértice em l(-4,5,,-60,75r).

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