Determine o valor de m nas funções reais abaixo para que o valor mínimo de:
(b) f(x)=(m-1) x^2+(m+1) x-m seja 1.

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de m tais que o valor mínimo da função
f(x) = (m-1)x^2 + (m+1)x - m
seja igual a 1.
Aqui estamos lidando com uma parábola de coeficiente quadrático a = m-1. Sabemos que só existe valor mínimo finito se a>0, ou seja, m-1>0;Longrightarrow;m>1.

Passo 2

Para uma parábola f(x)=ax^2+bx+c com a>0, o valor mínimo ocorre no vértice e vale
fmin = -De<a4a,
onde De<a = b^2 - 4ac. Aqui
a = m-1, b = m+1, c = -m

Passo 3

Calcular De<a:
De<a = (m+1)^2 - 4,(m-1),(-m) = m^2 + 2m + 1 + 4m(m-1) = m^2 + 2m + 1 + 4m^2 - 4m = 5m^2 - 2m + 1

Passo 4

O valor mínimo é
fmin = -5m^2 - 2m + 14(m-1)
Queremos fmin=1, logo
-5m^2 - 2m + 14(m-1) = 1 ;Longrightarrow; -(5m^2 - 2m + 1) = 4(m-1) ;Longrightarrow; 5m^2 + 2m - 3 = 0
Essa equação dá
m = -2 pm raiz4 + 6010 = -2 pm 810 ;Longrightarrow; m = 35 ou m = -1

Passo 5

Porém, para existir mínimo finito precisamos de m>1. Nenhuma das soluções m=tfrac35 ou m=-1 satisfaz m>1. Logo, não há nenhum minR que torne o valor mínimo de f(x) igual a 1.

Resposta

Não existe valor real de m que faça o valor mínimo de f(x) ser igual a 1.

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