Determine os valores de m para que:
f) a equação m x^2+(2 m-1) x+(m-2)=0 não tenha raízes reais.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de m tais que a equação
m x^2 + (2m-1)x + (m-2) = 0
não tenha raízes reais. Como é uma equação de segundo grau em x (quando m neq 0), vamos usar o critério do discriminante. Além disso, é preciso checar o caso degenerado m=0, que transforma a equação em uma equação linear.

Passo 2

Se m=0, a equação vira
- x - 2 = 0
que tem a solução x = -2. Logo, para m=0 ela tem uma raiz real, e portanto não entra na condição de “não ter raízes reais”.

Passo 3

Para m neq 0, calculamos o discriminante
De<a = (2m - 1)^2 - 4 cdot m cdot (m - 2)
Expandindo e simplificando, obtemos
De<a = 4m^2 - 4m + 1 - 4m^2 + 8m = 4m + 1

Passo 4

A condição para não existirem raízes reais é
De<a < 0
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4m + 1 < 0 Longrightarrow m < -tfrac14

Resposta

m < -tfrac14.

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