Calcule as raízes dos números complexos dados abaixo e faça a representação gráfica correspondente.
raiz1+2 i raiz6

Passo 1

O enunciado pede para calcular as raízes quadradas do número complexo 1 + 2,iraiz6 e, em seguida, representar essas raízes no plano complexo. O conteúdo usado será a técnica de escrever a raiz como z = x + i,y e igualar (x + i,y)^2 ao número dado, obtendo um sistema para x e y.

Passo 2

Suponha que
z = x + i,y
seja uma raiz de 1 + 2,iraiz6. Então
(x + i,y)^2 = x^2 - y^2 + 2,i,x,y
deve ser igual a
1 + 2,iraiz6
Igualando parte real e imaginária, obtemos o sistema
x^2 - y^2 = 1, 2,x,y = 2,raiz6

Passo 3

Da segunda equação vem
x,y = raiz6 Longrightarrow y = raiz6x
Substituindo na primeira equação:
x^2 - l(tfracraiz6xr)^2 = 1 Longrightarrow x^2 - 6x^2 = 1
Multiplicando por x^2:
x^4 - x^2 - 6 = 0
Seja t = x^2. Então
t^2 - t - 6 = 0 Longrightarrow t = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52
Descartamos t = -2 e ficamos com t = 3, ou seja x^2 = 3.

Passo 4

De x^2=3 segue x = pmraiz3. E como y = raiz6/x, temos correspondência de sinais:
x = +raiz3;Longrightarrow;y = +raiz2, x = -raiz3;Longrightarrow;y = -raiz2
Portanto, as duas raízes são
z1 = raiz3 + i,raiz2, z2 = -raiz3 - i,raiz2

Passo 5

No plano de Argand, as raízes ocupam os pontos
(raiz3,,raiz2) e (-raiz3,,-raiz2),
isto é, dois pontos simetricamente opostos em relação à origem.

Resposta

z1 = raiz3 + i,raiz2, z2 = -raiz3 - i,raiz2,
representados no plano complexo pelos pontos (raiz3,raiz2) e (-raiz3,-raiz2).

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