Reduza os números z1=raiz3+3 i e z2=3-i raiz32 à forma polar e determine as formas polares de z1 z2 e z1z2.

Passo 1

O enunciado pede para escrever os complexos
;z1=raiz3+3i e ;z2=3 - iraiz32
na forma polar, ou seja ;r(costheta + isintheta), e em seguida achar a forma polar de
;z1z2 e de ;z1z2. Para isso, vamos calcular módulo e argumento de cada número e usar as regras de soma e subtração de argumentos em produtos e quocientes.

Passo 2

Calcular módulo e argumento de z1=raiz3+3i.
O módulo é
r1=raiz(raiz3)^2+3^2=raiz3+9=raiz12=2raiz3
O argumento satisfaz
tantheta1=Im(z1)Re(z1)=3raiz3=raiz3,
logo theta1=pi3 (quadrante I).
Portanto
z1=2raiz3,l(cos(tfracpi3)+isin(tfracpi3)r)

Passo 3

Calcular módulo e argumento de z2=3 - iraiz32= tfrac32-tfracraiz32i.
O módulo é
r2=raizl(tfrac32r)^2+l(tfracraiz32r)^2 =raiztfrac94+tfrac34=raiz3
O argumento satisfaz
tantheta2=-tfracraiz32tfrac32=-raiz33,
que dá theta2=-tfracpi6 (quadrante IV).
Logo
z2=raiz3,l(cos(-tfracpi6)+isin(-tfracpi6)r)

Passo 4

Obter a forma polar de z1z2.
Em forma polar, o módulo do produto é o produto dos módulos e o argumento é a soma dos argumentos:
r12=r1r2=(2raiz3)(raiz3)=6, theta12=theta1+theta2=tfracpi3+(-tfracpi6)=tfracpi6
Portanto
z1z2=6,l(cos(tfracpi6)+isin(tfracpi6)r)

Passo 5

Obter a forma polar de z1z2.
No quociente em forma polar, dividimos módulos e subtraímos argumentos:
rdiv=r1r2=2raiz3raiz3=2, thetadiv=theta1-theta2=tfracpi3-(-tfracpi6)=tfracpi2
Logo
z1z2=2,l(cos(tfracpi2)+isin(tfracpi2)r)

Resposta

z1=2raiz3,l(cos(tfracpi3)+isin(tfracpi3)r),
z2=raiz3,l(cos(-tfracpi6)+isin(-tfracpi6)r),
z1z2=6,l(cos(tfracpi6)+isin(tfracpi6)r),
z1z2=2,l(cos(tfracpi2)+isin(tfracpi2)r)

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