Dados três vértices de um paralelogramo pelos números complexos
e
, determine o vértice
oposto a
. Faça um gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de geometria usando números complexos. A gente sabe que números complexos podem representar pontos no plano, então cada número complexo aqui é um vértice de um paralelogramo. A questão pede para determinar o quarto vértice, chamado
, que é o oposto de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como os números complexos representam pontos e usar propriedades dos paralelogramos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser representado no plano como o ponto
. Assim, se temos três vértices
e
, podemos plotá-los no plano complexo.
Passo 3
Sabemos que em um paralelogramo, os vetores das diagonais se bissetam. Isso significa que o ponto onde as diagonais se cruzam é o ponto médio de ambas. Então, se formos calcular o ponto médio entre
e
, ele deve ser igual ao ponto médio entre
e
.
Passo 4
Vamos calcular o ponto médio entre
e
. A fórmula para o ponto médio de dois números complexos
e
é:
Então,
Passo 5
Agora, vamos expressar o ponto médio entre
e
:
Passo 6
Como os dois pontos médios são iguais, podemos igualar as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 7
Agora, queremos encontrar
. Para isso, vamos isolar
:
Passo 8
Portanto, o quarto vértice
é dado pela soma dos vértices
e
menos o vértice
.
Resposta
O quarto vértice oposto a
é
.