Dados três vértices de um paralelogramo pelos números complexos z1, z2 e z3, determine o vértice z4 oposto a z2. Faça um gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de geometria usando números complexos. A gente sabe que números complexos podem representar pontos no plano, então cada número complexo aqui é um vértice de um paralelogramo. A questão pede para determinar o quarto vértice, chamado z4 , que é o oposto de z2 . Para resolver isso, vamos precisar entender como os números complexos representam pontos e usar propriedades dos paralelogramos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo z = a + bi pode ser representado no plano como o ponto (a, b) . Assim, se temos três vértices z1, z2 e z3 , podemos plotá-los no plano complexo.

Passo 3

Sabemos que em um paralelogramo, os vetores das diagonais se bissetam. Isso significa que o ponto onde as diagonais se cruzam é o ponto médio de ambas. Então, se formos calcular o ponto médio entre z1 e z3 , ele deve ser igual ao ponto médio entre z2 e z4 .

Passo 4

Vamos calcular o ponto médio entre z1 e z3 . A fórmula para o ponto médio de dois números complexos za e zb é:
M = za + zb2
Então,
M = z1 + z32

Passo 5

Agora, vamos expressar o ponto médio entre z2 e z4 :
M = z2 + z42

Passo 6

Como os dois pontos médios são iguais, podemos igualar as duas expressões:
z1 + z32 = z2 + z42
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
z1 + z3 = z2 + z4

Passo 7

Agora, queremos encontrar z4 . Para isso, vamos isolar z4 :
z4 = z1 + z3 - z2

Passo 8

Portanto, o quarto vértice z4 é dado pela soma dos vértices z1 e z3 menos o vértice z2 .

Resposta

O quarto vértice oposto a z2 é z4 = z1 + z3 - z2 .

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