Dê um exemplo não trivial (diferente das matrizes identidade e nula) de matriz idempotente 2 x 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um exemplo não trivial de uma matriz idempotente 2x2. Primeiro, o que é uma matriz idempotente? É uma matriz A que, quando multiplicada por ela mesma, dá de volta a mesma matriz, ou seja, A^2 = A . Vamos precisar trabalhar com definições de matrizes e multiplicação de matrizes para resolver isso.

Passo 2

Para achar uma matriz 2x2 idempotente que não seja a matriz identidade I nem a matriz nula 0 , vamos supor uma matriz genérica 2x2:
A = a & b c & d
Agora, queremos que A^2 = A . Então, vamos multiplicar A por ela mesma:
A^2 = A cdot A = a & b c & d a & b c & d = a^2 + b c & a b + b d c a + d c & c b + d^2

Passo 3

Igualando A^2 a A , temos:
a^2 + b c & a b + b d c a + d c & c b + d^2 = a & b c & d
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. a^2 + b c = a
  2. a b + b d = b
  3. c a + d c = c
  4. c b + d^2 = d

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Vamos começar pelas equações 2 e 3, que podem ser simplificadas:
Da equação 2: b(a + d) = b . Se b neq 0 , podemos dividir ambos os lados por b :
a + d = 1 .
Da equação 3: c(a + d) = c . Similarmente, se c neq 0 , temos:
a + d = 1 .
Então, temos que a + d = 1 .

Passo 5

Agora, vamos olhar para as equações 1 e 4 usando a + d = 1 .
Da equação 1: a^2 + b c = a . Como a + d = 1 , podemos substituir d = 1 - a :
a^2 + b c = a .
Da equação 4: c b + d^2 = d . Substituindo d = 1 - a :
c b + (1 - a)^2 = 1 - a .

Passo 6

Resolvendo a equação 1:
a^2 + b c - a = 0 .
E a equação 4:
c b + (1 - 2a + a^2) - (1 - a) = 0
Simplificando:
c b + 1 - 2a + a^2 - 1 + a = 0
c b - a + a^2 = 0 .
Observe que temos duas equações:
  1. a^2 + b c - a = 0
  2. a^2 + b c - a = 0
São na verdade a mesma equação! Então, precisamos escolher um valor para a e resolver para os outros termos.

Passo 7

Vamos escolher a = 1 . Então, d = 1 - a = 0 .
Substituindo na equação 1:
1^2 + b c - 1 = 0
1 + b c - 1 = 0
b c = 0 .
Então, ou b = 0 ou c = 0 .
Para tornar a matriz não trivial, vamos escolher b = 1 e c = 0 .

Passo 8

Com a = 1 , d = 0 , b = 1 , e c = 0 , a matriz fica:
A = 1 & 1 0 & 0
Vamos verificar se A^2 = A :
A^2 = 1 & 1 0 & 0 1 & 1 0 & 0 = 1 cdot 1 + 1 cdot 0 & 1 cdot 1 + 1 cdot 0 0 cdot 1 + 0 cdot 0 & 0 cdot 1 + 0 cdot 0 = 1 & 1 0 & 0 = A
Então, funciona!

Resposta

Um exemplo de matriz idempotente 2x2 não trivial é:
1 & 1 0 & 0

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