Dê um exemplo não trivial (diferente das matrizes identidade e nula) de matriz idempotente 2 x 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um exemplo não trivial de uma matriz idempotente 2x2. Primeiro, o que é uma matriz idempotente? É uma matriz que, quando multiplicada por ela mesma, dá de volta a mesma matriz, ou seja, . Vamos precisar trabalhar com definições de matrizes e multiplicação de matrizes para resolver isso.
Passo 2
Para achar uma matriz 2x2 idempotente que não seja a matriz identidade nem a matriz nula , vamos supor uma matriz genérica 2x2:
Agora, queremos que . Então, vamos multiplicar por ela mesma:
Passo 3
Igualando a , temos:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Vamos começar pelas equações 2 e 3, que podem ser simplificadas:
Da equação 2: . Se , podemos dividir ambos os lados por :
.
Da equação 3: . Similarmente, se , temos:
.
Então, temos que .
Passo 5
Agora, vamos olhar para as equações 1 e 4 usando .
Da equação 1: . Como , podemos substituir :
.
Da equação 4: . Substituindo :
.
Passo 6
Resolvendo a equação 1:
.
E a equação 4:
Simplificando:
.
Observe que temos duas equações:
São na verdade a mesma equação! Então, precisamos escolher um valor para e resolver para os outros termos.
Passo 7
Vamos escolher . Então, .
Substituindo na equação 1:
.
Então, ou ou .
Para tornar a matriz não trivial, vamos escolher e .